Exercice 8, § 2

Soit A une partie non vide d’un corps commutatif K de caractéristique $\neq 2$; on dit que K est A-ordonnable si aucun des éléments de A n’est somme de carrés dans K. On dit que K est ordonnable s’il existe sur K une structure d’ordre total compatible avec la structure d’anneau de K. a) Montrer que si K est A-ordonnable, il est ordonnable (exerc. 7), et par suite de caractéristique 0. b) Montrer qu’une extension pure et une extension algébrique de degré impair d’un corps A-ordonnable K sont des corps A-ordonnables (raisonner comme dans la prop. 3 de VI, p. 22). c) Soit K un corps A-ordonnable, et soit b un élément de K qui n’est pas de la forme $ca - d$, où $a \in A$ où c et d sont des sommes de carrés dans K. Montrer que le corps $K(\sqrt{b})$ est A-ordonnable. d) On dit qu’un corps A-ordonnable K est un corps A-ordonnable maximal s’il n’existe aucune extension algébrique de K qui soit A-ordonnable et distincte de K. Montrer que si K est un corps A-ordonnable maximal, il possède les propriétés suivantes : 1° K est pythagoricien, c’est-à-dire que toute somme de carrés dans K est un carré ; 2° aucun élément de A n’est un carré ; 3° tout élément de K qui n’est pas un carré est de la forme $c^2 a - d^2$, où $a \in A$ ; 4° tout polynôme de K[X], de degré impair, a au moins une racine dans K (utiliser b) et c)). e) Montrer que si K satisfait aux quatre conditions de d), tout élément algébrique sur K a un degré de la forme $2^q$ sur K (raisonner comme dans la prop. 8 de VI, p. 26, par récurrence sur l’exposant de 2 dans le degré de l’élément considéré). Montrer d’autre part qu’aucune extension quadratique de K n’est A-ordonnable. En déduire que K est un corps A-ordonnable maximal (on utilisera la théorie de Galois et la prop. 12 de I, p. 73). f) Soient K un corps A-ordonnable, et $\Omega$ une extension algébriquement close de K. Montrer qu’il existe un corps A-ordonnable maximal contenu dans $\Omega$ et contenant K.