Bài tập 8, § 2

Cho A là một tập con khác rỗng của một trường giao hoán K có đặc số $\neq 2$; khi đó K được gọi là A-sắp thứ tự được nếu không có phần tử nào của A là một tổng của các bình phương trong K. Ta nói rằng K là sắp thứ tự được nếu tồn tại một thứ tự toàn phần trên K tương thích với cấu trúc vành của nó. a) Chứng minh rằng nếu K là A-sắp thứ tự được thì K là sắp thứ tự được (Bài tập 7), và do đó có đặc số (0). b) Chứng minh rằng các mở rộng thuần túy và các mở rộng đại số có bậc lẻ của một trường K A-sắp thứ tự được là A-sắp thứ tự được (lập luận như trong Mệnh đề 3 của VI, p. 23). c) Cho K là một trường A-sắp thứ tự được và cho b là một phần tử của K không có dạng $ca - d$, trong đó $a \in A$ và c và d là các tổng của các bình phương trong K. Chứng minh rằng trường $K(\sqrt{b})$ là A-sắp thứ tự được. d) Một trường K A-sắp thứ tự được được gọi là cực đại nếu không có mở rộng đại số thực sự nào của K là A-sắp thứ tự được. Chứng minh rằng một trường K A-sắp thứ tự được cực đại có các tính chất sau: 1. K là Pythagore, nói cách khác mọi tổng của các bình phương đều là một bình phương; 2. không có phần tử nào của A là một bình phương; 3. mọi phần tử của K không phải là một bình phương có dạng $c^2u - d^2$, trong đó $u \in A$; 4. mọi đa thức bậc lẻ trong $K[X]$ có ít nhất một nghiệm trong K (sử dụng b) và c)). e) Chứng minh rằng nếu K thỏa mãn các điều kiện của d) thì mọi phần tử đại số trên K có bậc $2^q$ trên K với một q nào đó (lập luận như trong Mệnh đề 8 của VI, p. 26, bằng quy nạp theo số mũ của 2 trong bậc của phần tử đang xét). Mặt khác chứng minh rằng không có mở rộng bậc hai nào của K là A-sắp thứ tự được. Suy ra rằng K là một trường A-sắp thứ tự được cực đại (sử dụng lý thuyết Galois và Mệnh đề 12 của I, p. 77). f) Cho K là một trường A-sắp thứ tự được và $\Omega$ là một mở rộng đóng đại số của K. Chứng minh rằng tồn tại một trường A-sắp thứ tự được cực đại chứa trong $\Omega$ và chứa K.