Exercice 16, § 4

On conserve les notations des deux exercices précédents. a) Soit $S_P$ l’ensemble des P-entiers et soit $\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$ l’anneau de fractions de $\mathbf{Z}$ défini par $S_P$ (AC, II, § 2, n° 1). Supposons que G soit nilpotent, sans P-torsion et P-divisible, et soient $t \in \mathbf{Z}_P$, $g \in G$. Montrer qu’il existe un élément $h$ et un seul de G tel que $h^s = g^{st}$ pour tout $s \in S_P$ tel que $st \in \mathbf{Z}$. L’élément $h$ est appelé la puissance t-ième de $g$, et noté $g^t$. L’application $t \mapsto g^t$ est un homomorphisme de $\mathbf{Z}_P$ dans G. Si $t$ est inversible dans $\mathbf{Z}_P$, $g \mapsto g^t$ est bijectif. (Utiliser l’exerc. 14 c)). b) Soit A un groupe commutatif, et soit $i$ l’application canonique de A dans $A_P = \mathbf{Z}_P \otimes A$. Montrer que $(i, A_P)$ est une P-enveloppe de A. c) Soit G (resp. $\bar{G}$) le groupe trigonal strict inférieur d’ordre $n$ sur un anneau $k$ (resp. sur l’anneau $k_P = k \otimes \mathbf{Z}_P$), et soit $i$ l’homomorphisme de G dans $\bar{G}$ défini par l’homomorphisme canonique de $k$ dans $k_P$ (A, II, p. 145). Montrer que $(i, \bar{G})$ est une P-enveloppe de G. d) Soit G un groupe nilpotent fini, donc produit direct de ses $p$-groupes de Sylow $G_p$ (A, I, p. 76, th. 4). Soit $\bar{G}$ le produit des $G_p$ pour $p \notin P$, et soit $i$ la projection canonique de G sur $\bar{G}$. Montrer que $(i, \bar{G})$ est une P-enveloppe de G.