Bài tập 16, § 4

Ta giữ nguyên ký hiệu của hai bài tập trước. (a) Gọi $S_P$ là tập hợp các số nguyên P và gọi $\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$ là vành phân thức của $\mathbf{Z}$ được xác định bởi $S_P$ (Đại số giao hoán, Chương II, § 2, no. 1). Giả sử rằng G là lũy linh, không xoắn P và chia được P, và cho $t \in \mathbf{Z}_P, g \in G$. Chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một phần tử h của G sao cho $h^s = g^{st}$ với mọi $s \in S_P$ sao cho $st \in \mathbf{Z}$. Phần tử h được gọi là lũy thừa thứ t của g và được ký hiệu bởi $g^t$. Ánh xạ $t \mapsto g^t$ là một đồng cấu của $\mathbf{Z}_P$ vào G. Nếu t khả nghịch trong $\mathbf{Z}_P$, thì $g \mapsto g^t$ là song ánh. (Dùng Bài tập 14 (c)). (b) Cho A là một nhóm giao hoán và cho i là ánh xạ chính tắc của A vào $A_P = \mathbf{Z}_P \times A$. Chứng minh rằng $(i, A_P)$ là một P-bao của A. (c) Cho G (tương ứng $\overline{G}$) là nhóm tam giác dưới ngặt cấp n trên một vành k (tương ứng trên vành $k_P = k \otimes \mathbf{Z}_P$) và cho i là đồng cấu của G vào $\overline{G}$ được xác định bởi đồng cấu chính tắc của k vào $k_P$ (Đại số, Chương II, § 10, no. 4). Chứng minh rằng $(i, \overline{G})$ là một P-bao của G. (d) Cho G là một nhóm hữu hạn lũy linh và do đó là tích trực tiếp của các nhóm p-Sylow $G_p$ của nó (Đại số, Chương I, § 6, no. 7, Định lý 4). Cho $\overline{G}$ là tích của các $G_p$ với $p \notin P$ và cho i là phép chiếu chính tắc của G lên $\overline{G}$. Chứng minh rằng $(i, \overline{G})$ là một P-bao của G.