Bài tập 26, § 5

(a) Cho $G$ là một nhóm tác động trên hai tập hợp hữu hạn $E_1$ và $E_2$. Nếu $s \in G$, ký hiệu $s_1$ (resp. $s_2$) là phép hoán vị của $E_1$ (resp. $E_2$) được xác định bởi $s$ và $E_1^s$ (resp. $E_2^s$) là tập hợp các phần tử bất biến dưới $s_1$ (resp. $s_2$).

Hãy chứng minh tính tương đương của các tính chất sau: (i) Với mọi $s \in G$, $\mathrm{Card}(E_1^s) = \mathrm{Card}(E_2^s)$. (ii) Với mọi $s \in G$, các cấp của các chu trình thành phần của $s_1$ (xem no. 7, Mệnh đề 7) giống (sai khác bởi một phép hoán vị) các cấp của các chu trình thành phần của $s_2$. (iii) Với mọi $s \in G$, tồn tại một song ánh $f_s : E_1 \to E_2$ sao cho $s_2 \circ f_s = f_s \circ s_1$.

Nếu các tính chất này đúng, các tập hợp $G$ $E_1$ và $E_2$ được gọi là tương đương yếu.

(b) Hãy cho một ví dụ về hai tập hợp $G$ tương đương yếu nhưng không đẳng cấu (lấy $G$ là một nhóm không cyclic có cấp 4).

(c) Cho $H_1$ và $H_2$ là hai nhóm con của một nhóm hữu hạn $G$. Hãy chứng minh tính tương đương của các tính chất sau: (1) Với mọi lớp liên hợp $C$ của $G$,

(2) Các tập hợp $G$ $G/H_1$ và $G/H_2$ tương đương yếu.

(d) Hãy chứng minh rằng, nếu $H_1$ và $H_2$ thỏa mãn các tính chất (1) và (2) trên và $H_1$ là chuẩn tắc trong $G$, thì $H_2 = H_1$.

(e) Cho $G = \mathfrak{A}_6$ và

Hãy chứng minh rằng $H_1$ và $H_2$ thỏa mãn các tính chất (1) và (2) và rằng $H_1$ và $H_2$ không liên hợp trong $\mathfrak{A}_6$ (cũng không trong $\mathfrak{S}_6$).