Exercice 26, § 5

a) Soit $G$ un groupe, opérant sur deux ensembles finis $E_1$ et $E_2$. Si $s \in G$, on note $s_1$ (resp. $s_2$) la permutation de $E_1$ (resp. $E_2$) définie par $s$, et $E_1^s$ (resp. $E_2^s$) l’ensemble des éléments invariants par $s_1$ (resp. $s_2$). Démontrer l’équivalence des propriétés suivantes: (i) Pour tout $s \in G$, on a $\mathrm{Card}(E_1^s) = \mathrm{Card}(E_2^s)$. (ii) Pour tout $s \in G$, les ordres des cycles composants de $s_1$ (cf. I, p. 60, prop. 7) sont les mêmes (à une permutation près) que ceux relatifs à $s_2$. (iii) Pour tout $s \in G$, il existe une bijection $f_s : E_1 \to E_2$ telle que $s_2 \circ f_s = f_s \circ s_1$. Si ces propriétés sont vérifiées, on dit que les $G$-ensembles $E_1$ et $E_2$ sont faiblement équivalents. b) Donner un exemple de deux $G$-ensembles faiblement équivalents qui ne sont pas isomorphes (prendre pour $G$ un groupe non cyclique d’ordre 4). c) Soient $H_1$ et $H_2$ deux sous-groupes d’un groupe fini $G$. Démontrer l’équivalence des propriétés suivantes: (1) Pour toute classe de conjugaison $C$ de $G$, on a

(2) Les $G$-ensembles $G/H_1$ et $G/H_2$ sont faiblement équivalents. d) Montrer que, si $H_1$ et $H_2$ vérifient les propriétés (1) et (2) ci-dessus, et si $H_1$ est distingué dans $G$, on a $H_2 = H_1$. e) Soit $G = A_6$, et soient Montrer que $H_1$ et $H_2$ vérifient les propriétés (1) et (2), et que $H_1$ et $H_2$ ne sont pas conjugués dans $A_6$ (ni dans $S_6$).