Bài tập 12, § 5

(a) Chứng minh rằng mọi phép hoán vị $\sigma \in \mathfrak{A}_n$ là một tích của các chu trình cấp 3 (nói chung không phải là các chu trình thành phần của $\sigma$). (Chứng minh điều đó cho một tích của hai phép đổi chỗ và dùng § 5, no. 7, Mệnh đề 9.)

(b) Nếu $a_1, \ldots, a_p$ là $p$ phần tử phân biệt của $\{1, n\}$, ký hiệu $(a_1a_2\ldots a_p)$ là chu trình cấp $p$ có giá là $\{a_1, a_2, \ldots, a_p\}$ và biến $a_i$ thành $a_{i+1}$ với $1 \leq i \leq p-1$ và $a_p$ thành $a_1$. Chứng minh rằng $\mathfrak{A}_n$ được sinh bởi $n-2$ chu trình $(1\ 2\ 3), (1\ 2\ 4), \ldots, (1\ 2\ n)$. (Dùng (a).)

(c) Suy ra rằng, nếu $n$ lẻ, $\mathfrak{A}_n$ được sinh bởi $(1\ 2\ 3)$ và $(1\ 2\ \ldots\ n)$ và, nếu $n$ chẵn, bởi $(1\ 2\ 3)$ và $(2\ 3\ \ldots\ n)$.

(d) Chứng minh rằng, nếu một nhóm con chuẩn tắc của $\mathfrak{A}_n$ chứa một chu trình cấp 3, thì nó đồng nhất với $\mathfrak{A}_n$ (chứng minh rằng một nhóm con như thế chứa mọi chu trình $(1\ 2\ k)$, $3 \leq k \leq n$).