Exercice 12, § 5

a) Montrer que toute permutation \sigma \in \mathfrak{A}_n est un produit de cycles d’ordre 3 (qui ne

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sont pas en général les cycles composants de $\sigma$. (Le démontrer pour un produit de deux transpositions, et utiliser I, p. 61, prop. 9.) b) Si $a_1, \ldots, a_p$ sont $p$ éléments distincts de $\{1, n\}$, on note $(a_1\ a_2 \ldots a_p)$ le cycle d’ordre $p$ dont le support est $\{a_1, \ldots, a_p\}$, et qui transforme $a_i$ en $a_{i+1}$ pour $1 \leq i \leq p - 1$ et $a_p$ en $a_1$. Montrer que $\mathfrak{A}_n$ est engendré par les $n - 2$ cycles $(1\ 2\ 3)$, $(1\ 2\ 4)$, $\ldots$, $(1\ 2\ n)$. (Utiliser $a$.) c) En déduire que, si $n$ est impair, $\mathfrak{A}_n$ est engendré par $(1\ 2\ 3)$ et $(1\ 2\ \ldots\ n)$, et, si $n$ est pair, par $(1\ 2\ 3)$ et $(2\ 3\ \ldots\ n)$. d) Montrer que, si un sous-groupe distingué de $\mathfrak{A}_n$ contient un cycle d’ordre 3, il est identique à $\mathfrak{A}_n$ (prouver qu’un tel sous-groupe contient tous les cycles $(1\ 2\ k)$ pour $3 \leq k \leq n$).