Bài tập 12, § 12

Cho f là một đa thức của $\mathbf{Z}[X]$ có bậc $n$ và cho $p_1, p_2, p_3$ là ba số nguyên tố phân biệt không chia hết hệ số đầu của f; gọi $f_1, f_2, f_3$ là các ảnh chính tắc của f trong $\mathbf{F}_{p_1}[X], \mathbf{F}_{p_2}[X], \mathbf{F}_{p_3}[X]$ tương ứng. Giả sử rằng $f_1$ là tích của một nhân tử tuyến tính và một nhân tử bất khả quy bậc $n - 1$, $f_2$ là tích của một nhân tử bất khả quy bậc hai và các nhân tử bất khả quy có bậc lẻ, và sau cùng $f_3$ là bất khả quy. Hãy chứng minh rằng dưới các điều kiện ấy f là bất khả quy trong $\mathbf{Q}[X]$ và nhóm Galois của đa thức f trên $\mathbf{Q}$ đẳng cấu với nhóm đối xứng $\mathfrak{S}_n$ (« tiêu chuẩn của Dedekind »; dùng Bài tập 11 cũng như I, p. 63, Mệnh đề 9).