Exercice 12, § 12

Soit f un polynôme de $\mathbf{Z}[X]$ de degré n, et soient $p_1, p_2, p_3$ trois nombres premiers distincts ne divisant pas le coefficient dominant de f ; soient $f_1, f_2, f_3$ les images canoniques de f dans $\mathbf{F}_{p_1}[X], \mathbf{F}_{p_2}[X], \mathbf{F}_{p_3}[X]$ respectivement. On suppose que $f_1$ est produit d’un facteur linéaire et d’un facteur irréductible de degré $n - 1$, que $f_2$ est produit d’un facteur irréductible du second degré et de facteurs irréductibles de degrés impairs, et enfin que $f_3$ est irréductible. Montrer que dans ces conditions f est irréductible dans $\mathbf{Q}[X]$ et que le groupe de Galois du polynôme f sur $\mathbf{Q}$ est isomorphe au groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ (« critère de Dedekind » ; utiliser l’exerc. 11 ainsi que I, p. 61, prop. 9).