Exercice 16, § 5

a) Soient A un anneau (commutatif), $A'$ une A-algèbre commutative qui est un A-module plat, B une A-algèbre. Montrer que, si B est une algèbre d’Azumaya, $B' = A' \otimes_A B$ est une $A'$-algèbre d’Azumaya ; la réciproque est vraie si l’on suppose que $A'$ est un A-module fidèlement plat (cf. Alg., chap. II, 3e éd., § 5, no 1, cor. de la prop. 4 et Alg. comm., chap. I, § 2, no 9, prop. 10 et § 3, no 6, prop. 12). b) Montrer que le produit tensoriel $B \otimes_A C$ de deux A-algèbres d’Azumaya B, C est une A-algèbre d’Azumaya (cf. Alg., chap. VIII, § 7, no 4, cor. 2 du th. 2).