Exercice 10, § 5

Algèbre, III, p. 187

Soient A un anneau commutatif,

M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \longrightarrow 0

une suite exacte de A-modules, $n$ un entier $> 0$ . Posons $L = \mathrm{Coker}(T^n(u))$ de sorte que l’on a une suite exacte

T^n(M') \xrightarrow{T^n(u)} T^n(M) \longrightarrow L \longrightarrow 0.

Pour toute partie J de l’ensemble $\{1, 2, \ldots, n\}$ , posons

P_J = N_1 \otimes N_2 \otimes \cdots \otimes N_n,\quad \text{où } N_i = M' \text{ si } i \in J, N_i = M \text{ si } i \notin J

(P_\varnothing est donc égal à $T^n(M)$ ), et

Q_J = N_1 \otimes N_2 \otimes \cdots \otimes N_n,\quad \text{où } N_i = M' \text{ si } i \in J, N_i = M'' \text{ si } i \notin J

(Q_\varnothing est donc égal à $T^n(M'')$ ). Pour tout entier $i$ tel que $0 \leq i \leq n$ , notons $P^{(i)}$ le sous-module de $T^n(M)$ engendré par la réunion des images des $P_J$ pour toutes les parties J telles que $\mathrm{Card}(J) = i$ , et soit $L^{(i)}$ l’image canonique de $P^{(i)}$ dans L.

a) Montrer qu’il existe un homomorphisme canonique surjectif

\bigoplus_{\mathrm{Card}(J)=i} Q_J \to L^{(i)}/L^{(i+1)}

(cf. II, p. 56, prop. 6).

b) Si la suite $0 \longrightarrow M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \longrightarrow 0$ est exacte et scindée, montre que l’homomorphisme défini dans a) est bijectif.

Solution

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