Bài tập 10, § 5

Cho A là một vành giao hoán,

một dãy khớp các A-môđun và $n$ là một số nguyên $> 0$. Đặt $L = \mathrm{Coker}(T^n(u))$ để có một dãy khớp Với mọi tập con J của tập hợp $\{1, 2, \ldots, n\}$, ta viết (vì thế $P_\varnothing$ bằng $T^n(M)$) và (vì thế $Q_\varnothing$ bằng $T^n(M'')$). Với mọi số nguyên $i$ sao cho $0 \leq i \leq n$, ký hiệu $P^{(i)}$ là môđun con của $T^n(M)$ sinh bởi hợp của các ảnh của các $P_J$ với mọi tập con $J$ sao cho $\mathrm{Card}(J) = i$ và gọi $L^{(i)}$ là ảnh chính tắc của $P^{(i)}$ trong $L$.

(a) Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu toàn ánh chính tắc

(xem II, § 5, no. 6, Mệnh đề 6).

(b) Nếu dãy $0 \to M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \to 0$ là khớp và chẻ, hãy chứng minh rằng đồng cấu xác định trong (a) là song ánh.