Posons $E = K[X_i]_{i \in I}$ et notons $\varphi$ le $K$-homomorphisme de $E$ sur $A$ qui applique $X_i$ sur $x_i$ pour tout $i \in I$; on a donc $\varphi(f) = f(x)$ pour tout $f \in E$. Considérons $M$ comme un $E$-module au moyen de l’homomorphisme $\varphi : E \to A$ et définissons une application $D'$ de $E$ dans $M$ par $D'(f) = f^\Delta(x) + \sum_{i \in I} D_i f(x) \cdot m_i$ (remarquer que la famille $(D_i f)_{i \in I}$ est à support fini pour tout $f \in E$). Il est immédiat que $D'$ est l’unique dérivation de $E$ dans $M$, prolongeant $\Delta$ et appliquant $X_i$ sur $m_i$ pour tout $i \in I$.

Soit $D$ une dérivation de $A$ dans $M$ telle que $D(c.1) = \Delta(c)$ pour tout $c \in K$ et $D(x_i) = m_i$ pour tout $i \in I$. Alors $D \circ \varphi$ est une dérivation de $E$ dans $M$, prolongeant $\Delta$ et appliquant $X_i$ sur $m_i$ pour tout $i \in I$. On a donc $D \circ \varphi = D'$, c’est-à-dire la relation (2). Ceci démontre l’unicité de $D$; de plus, la formule (1) est conséquence de $f_\lambda(x) = 0$ et de (2).

Réciproquement, supposons la relation (1) satisfaite ; autrement dit, on a $D'(f_\lambda) = 0$ pour tout $\lambda \in \Lambda$. Soit $f \in a$; il existe une famille à support fini $(q_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ dans $E$ telle que $f = \sum_{\lambda \in \Lambda} q_\lambda \cdot f_\lambda$. On a

d’où $D'(f) = 0$ puisque $f_\lambda(x)$ et $D'(f_\lambda)$ sont nuls pour tout $\lambda \in \Lambda$. Comme $D'$ s’anule sur $a$, il existe une application $\mathbf{Z}$-linéaire $D$ de $A$ dans $M$ telle que $D' = D \circ \varphi$; il est immédiat que $D$ est la dérivation cherchée de $A$ dans $M$.

a) L’application $\alpha$ est injective. b) Toute $K$-dérivation de $L$ dans $M$ se prolonge en une $K$-dérivation de $M$ dans $M$. c) Toute $K$-dérivation de $L$ dans un $M$-espace vectoriel $V$ se prolonge en une $K$-dérivation de $M$ dans $V$.

L’assertion b) a été démontrée en IV, p. 22, et l’assertion a) s’en déduit aussitôt.

La prop. 3, a) montre que toute $P$-dérivation de $K$ dans un espace vectoriel $V$ sur $L$ se prolonge en une $P$-dérivation de $L$ dans $V$; l’injectivité de $\alpha$ résulte alors de la prop. 2. La deuxième assertion du corollaire résulte de l’exactitude de la suite $(E_{P,K,L})$ et de la prop. 3, b) (compte tenu de la formule (4)).

a) Toute $K$-dérivation de $L$ dans $V$ est nulle. b) Si $\Delta$ est une dérivation de $K$ dans $V$, il existe une dérivation $D$ de $L$ dans $V$, et une seule, qui prolonge $\Delta$.

Soit $D$ une $K$-dérivation de $L$ dans $V$. Si $E$ est une sous-extension de $L$, de degré fini sur $K$, la $K$-algèbre $E$ est étale, et l’on a donc $\Omega_K(E) = 0$ (V, p. 32, th. 3), d’où $D|E = 0$ par la propriété universelle de $\Omega_K(E)$ (III, p. 134). Comme $L$ est réunion d’une famille de sous-extensions de degré fini sur $K$, on a $D = 0$, d’où a).

Soit $\Delta$ une dérivation de $K$ dans $V$. Si $D'$ et $D''$ sont deux prolongements de $\Delta$ en une dérivation de $L$ dans $V$, la différence $D' - D''$ est une $K$-dérivation de $L$ dans $V$; elle est donc nulle d’après a), d’où $D' = D''$.

Il reste à prouver l’existence d’un prolongement de $\Delta$. Le théorème de Zorn (E, III, p. 20) entraîne l’existence d’un prolongement maximal $D_0$ de $\Delta$ en une dérivation définie dans un sous-corps $L_0$ de $L$ contenant $K$.

Soient $x$ dans $L$ et $g$ le polynôme minimal de $x$ sur $L_0$. Comme $L$ est algébrique et séparable sur $K$, $x$ est algébrique et séparable sur $L_0$ (V, p. 38, prop. 6 et p. 38, cor. 2); par suite, $x$ est une racine simple de $g$ (V, p. 38, prop. 5), d’où $g'(x) \neq 0$ (IV, p. 16, prop. 7). Si l’on définit $g^{D_0}(x)$ comme en V, p. 121, il existe donc un élément $u$ de $V$ tel que $g^{D_0}(x) + g'(x).u = 0$; d’après la prop. 1 (V, p. 121), il existe une dérivation $D$ de $L_0(x)$ dans $V$, prolongeant $D_0$ et telle que $D(x) = u$. Vu le caractère maximal de $(L_0, D_0)$, on a donc $L_0(x) = L_0$, d’où $x \in L_0$. Vu l’arbitraire de $x$, on a finalement $L_0 = L$.

Pour tout $y \in L$, soit D(y) la classe de $dy$ modulo U. Alors D est une E-dérivation de L dans $\Omega_K(L)/U$. Comme K est de caractéristique 0, toute extension algébrique de E est séparable (V, p. 36, cor.) ; si $x \in L$ est algébrique sur E, on a $Dx = 0$ d’après la prop. 4 (V, p. 123), c’est-à-dire $dx \in U$.

Si $x \in L$ est transcendant sur E, il existe une E-dérivation $\Delta$ de E(x) dans L telle que $\Delta(x) = 1$ (V, p. 123, prop. 3) ; d’après le th. 1, $\Delta$ se prolonge en une E-dérivation D de L dans L. Soit $\varphi$ la forme linéaire sur $\Omega_K(L)$ telle que $D = \varphi \circ d$; on a $\varphi(dy) = 0$ pour $y \in E$ et $\varphi(x) = 1$, d’où $dx \notin U$.

Ce corollaire résulte immédiatement du cor. 2 où l’on fait $E = K$.

Ce corollaire résulte aussitôt du cor. 1 et de V, p. 122, prop. 2.

a) Pour que $(x_i)_{i \in I}$ soit algébriquement libre sur K, il faut et il suffit que la famille des différentielles $dx_i$ (pour $i \in I$) dans $\Omega_K(L)$ soit linéairement libre sur L.

b) Pour que L soit algébrique sur $K(x_i)_{i \in I}$, il faut et il suffit que les différentielles $dx_i$ pour $i \in I$ engendrent l’espace vectoriel $\Omega_K(L)$ sur L.

c) Pour que $(x_i)_{i \in I}$ soit une base de transcendance de L sur K, il faut et il suffit que la famille $(dx_i)_{i \in I}$ soit une base de $\Omega_K(L)$ sur L.

Pour tout $i \in I$, soit $E_i$ le sous-corps $K(x_j)_{j \in I - \{i\}}$ de L. Pour que la famille $(x_i)_{i \in I}$ soit algébriquement libre sur K, il faut et il suffit (V, p. 104, prop. 5) que $x_i$ soit transcendant sur $E_i$ pour tout $i \in I$. D’après le cor. 2 du th. 1, ceci signifie que, pour tout $i \in I$, la différentielle $dx_i$ n’est pas combinaison linéaire à coefficients dans L des différentielles $dx_j$ pour $j \neq i$ dans I ; cette dernière condition signifie que la famille $(dx_i)_{i \in I}$ est libre sur L, d’où a).

L’assertion b) résulte aussitôt du cor. 2 du th. 1, et c) est conséquence de a) et b).

On peut supposer K de caractéristique $p \neq 0$. Supposons d’abord que L soit séparable sur K. Soient V un espace vectoriel sur L et $\Delta$ une dérivation de K dans V. D’après le critère de MacLane (V, p. 119, remarque), les corps $L^p$ et K sont linéairement disjoints sur $K^p$. Comme $\Delta$ est une application $K^p$-linéaire de K dans V, elle se prolonge de manière unique en une application $L^p$-linéaire $\Delta'$ de $K[L^p] = K(L^p)$ dans V. Il est immédiat que $\Delta'$ est une dérivation de $K(L^p)$ dans V nulle sur $L^p$; elle se prolonge donc (V, p. 97, cor. 1) en une dérivation de L dans V.

Réciproquement, supposons que toute dérivation de K à valeurs dans L se prolonge en une dérivation de L dans L. Soit B une $p$-base de K (V, p. 95) et soit $\Lambda$ l’ensemble des familles $(\alpha_b)_{b \in B}$ à support fini formées d’entiers compris entre 0 et $p - 1$. Pour tout $b \in B$, il existe une dérivation $\Delta_b$ de K dans K caractérisée par $\Delta_b(b') = \delta_{bb'}$ (symbole de Kronecker) pour tout $b' \in B$ (V, p. 98). Par hypothèse, il existe pour chaque $b \in B$ une dérivation $D_b$ de L dans L prolongeant $\Delta_b$. On a $D_b(b') = \delta_{bb'}$ pour $b, b'$ dans B, ce qui prouve que, dans $\Omega_{L^p}(L)$, les différentielles $db$ (pour $b \in B$) sont linéairement indépendantes sur L. Par suite (V, p. 97, th. 1), B est $p$-libre sur $L^p$. Par suite (V, p. 94, prop. 1 et p. 119, remarque), l’extension L de K est séparable.

La première assertion résulte de la prop. 2 (V, p. 123) et du th. 3. Réciproquement, soit P un sous-corps parfait de K ; on a $P = P^p \subset K^p$, donc toute dérivation de K dans un L-espace vectoriel est une P-dérivation ; la deuxième assertion du corollaire résulte alors de la prop. 2 (V, p. 123) et du th. 3.

Soient N le noyau, I l’image et C le conoyau de $f$. On a $C = V/I$ et I est isomorphe à $U/N$; on a donc $[U : L] = [N : L] + [I : L]$ et $[V : L] = [C : L] + [I : L]$, d’où le lemme.

Posons $h = g \circ f$; notons respectivement N, N', N'' les noyaux de $f, g, h$ et C, C', C'' les conoyaux de ces applications. On a $N \subset N'' \subset U$ et $f(N'') = f(U) \cap N'$; par suite, il existe une application linéaire $\overline{f} : N'' \to N'$ coïncidant avec $f$ sur $N''$ et de noyau N. L’application canonique $\pi$ de V sur $C = V/f(U)$ induit une application $\pi'$ de $N'$ dans $C$ dont le noyau est $f(U) \cap N' = \overline{f}(N'')$. Par passage au quotient, $g$ définit une application $\overline{g}$ de $C = V/f(U)$ dans $C'' = W/g(f(U))$ dont le noyau est évidemment $(N' + f(U))/f(U) = \pi'(N')$. Enfin, l’application canonique $\rho$ de $C'' = W/g(f(U))$ sur $C' = W/g(V)$ a pour noyau $g(V)/g(f(U)) = \overline{g}(C)$. En résumé, on a établi l’exactitude de la suite

(où $i$ est l’injection canonique de N dans $N''$).

!Diagramme commutatif

Par hypothèse, N, N', C et C' sont de dimension finie ; il en est donc de même de N'' et C''. D’après le cor. 2 (II, p. 98), on a alors

d’où $\chi(h) = \chi(f) + \chi(g)$.

Si $E$ et $F$ sont deux sous-extensions de $L$ telles que $E \subset F$, nous noterons $\alpha(F/E)$ l’application $F$-linéaire canonique de $\Omega_p(E) \otimes_E F$ dans $\Omega_p(F)$ et, lorsqu’il est défini, l’indice de $\alpha(F/E)$ sera noté $d(F/E)$. Si $E$, $F$ et $G$ sont trois sous-extensions de $L$ telles que $E \subset F \subset G$, on a un diagramme commutatif

où $\beta$ est l’isomorphisme canonique défini dans la prop. 2 (II, p. 83). Comme l’indice est évidemment invariant par extension des scalaires et que l’indice d’un isomorphisme est nul, le lemme 2 (V, p. 127) montre que l’indice $d(G/E)$ est défini lorsque $d(F/E)$ et $d(G/F)$ le sont et que l’on a alors

Comme $L$ est une extension de type fini de $K$, la formule (5) et le cor. de V, p. 106 montrent qu’il suffit de considérer le cas où il existe $x$ tel que $L = K(x)$; de plus, si $x$ est algébrique sur $K$, il existe une puissance $q$ de l’exposant caractéristique de $L$ tel que $x^q$ soit algébrique et séparable sur $K$ (V, p. 42, prop. 13). Il suffit d’établir l’égalité $d(L/K) = \deg.\mathrm{tr}_K L$ dans les trois cas particuliers ci-dessous.

a) $x$ est transcendant sur $K$ : alors $\alpha$ est injectif et son conoyau est de rang 1 sur $L$ (V, p. 123, cor.) ; on a donc $d(L/K) = 1$ et aussi $\deg.\mathrm{tr}_K L = 1$.

b) $x$ est algébrique et séparable sur $K$ : alors $\alpha$ est bijectif (V, p. 124, cor. 2), d’où $d(L/K) = 0$; on a évidemment $\deg.\mathrm{tr}_K L = 0$.

c) Le corps $L$ est de caractère $p \neq 0$, on a $x \notin K$ et $x^p = a$ appartient à $K$ : le conoyau $C$ de $\alpha$ est isomorphe à $\Omega_K(L)$, et comme $\{ x \}$ est une $p$-base de $L$ sur $K$, l’espace $C$ est donc de dimension 1 sur $L$ (V, p. 97, th. 1). Comme $a$ est une puissance $p$-ième dans $L$, on a $d_{L/p} a = 0$, et le noyau de $\alpha$ contient le sous-espace $R$ de $U = \Omega_p(K) \otimes_K L$ engendré par $d_{K/p} a \otimes 1$. Pour tout $y \in K$, soit $\Delta(y)$ la classe de $d_{K/p} y \otimes 1$ modulo $R$; alors $\Delta$ est une P-dérivation de $K$ dans $U/R$ telle que $\Delta(a) = 0$. La prop. 5 (V, p. 96) montre que $\Delta$ se prolonge en une P-dérivation $D$ de $L$ dans $U/R$. Il existe alors une application $L$-linéaire $\beta : \Omega_p(L) \to U/R$ telle que $D = \beta \circ d_{L/p}$, et $\beta \circ \alpha$ est l’application canonique de $U$ sur $U/R$. Ceci prouve que $R$ est le noyau de $\alpha$. Comme $P$ est parfait, on a $P(K^p) = K^p$, d’où $a \notin P(K^p)$ et finalement $d_{K/p} a \neq 0$ (V, p. 99, prop. 6). Le noyau et le conoyau de $\alpha$ sont donc de dimension 1, d’où $d(L/K) = 0$; on a aussi $\deg.\mathrm{tr}_K L = 0$.

Soit P le sous-corps premier de K. Soit N le noyau de $\alpha$; d’après l’exactitude de la suite $(E_{P,K,L})$ (V, p. 122) et le th. 4, on a $[ \Omega_K(L) : L ] = s + [N : L]$; d’après V, p. 126, cor., l’extension L de K est séparable si et seulement si $N = 0$. D’où le corollaire.

Cela résulte aussitôt du corollaire 1.

Soit P le sous-corps premier de K. Si $[K : K^p]$ est fini, l’espace vectoriel $\Omega_P(K) = \Omega_{K^p}(K)$ est de dimension finie m sur K, et l’on a $[K : K^p] = p^m$ (V, p. 98, th. 2); l’espace vectoriel $\Omega_P(K) \otimes_K L$ est alors de dimension finie m sur L. Par ailleurs, comme K est de degré fini sur $K^p$, le corps $K(L^p)$ est de degré fini sur $K^p(L^p) = L^p$; comme le corps L est une extension de type fini de K et qu’il est algébrique sur $K(L^p)$, c’est une extension de degré fini de $K(L^p)$ (V, p. 17, th. 2); on en conclut que L est de degré fini sur $L^p$ (V, p. 9, th. 1). Alors $\Omega_P(L)$ est un espace vectoriel de dimension finie n sur L, et l’on a $[L : L^p] = p^n$ (V, p. 98, th. 2). D’après le lemme 1 (V, p. 127), l’application L-linéaire $\alpha : \Omega_P(K) \otimes_K L \to \Omega_P(L)$ a donc un indice égal à $n - m$, d’où $n - m = s$ d’après le th. 4 (V, p. 127) et $p^n = p^s . p^m$.