Nếu điều này đúng, đạo hàm D là duy nhất và thỏa mãn

Đặt $E = K[X_i]_{i \in I}$ và ký hiệu $\varphi$ là đồng cấu trên K của E lên A biến $X_i$ thành $x_i$ với mọi $i \in I$; do đó ta có $\varphi(f) = f(x)$ với mọi $f \in E$. Ta xét M như một E-môđun nhờ đồng cấu $\varphi : E \to A$ và định nghĩa một ánh xạ $D'$ từ E vào M bởi $D'(f) = f^\Delta(x) + \sum_{i \in I} D_i f(x) \cdot m_i$ (chú ý rằng họ $(D_i f)_{i \in I}$ có giá hữu hạn với mỗi $f \in E$). Hiển nhiên $D'$ là đạo hàm duy nhất của E vào M mở rộng A và biến $X_i$ thành $m_i$ với mỗi $i \in I$.

Cho D là một đạo hàm của A vào M sao cho $D(c \cdot 1) = \Delta(c)$ với mọi $c \in K$ và $D(x_i) = m_i$ với mọi $i \in I$. Khi đó $D \circ \varphi$ là một đạo hàm của E vào M mở rộng A và biến $X_i$ thành $m_i$ với mọi $i \in I$. Do đó ta có $D \circ \varphi = D'$, tức là quan hệ (2) đúng. Điều này chứng minh tính duy nhất của D; hơn nữa (1) là hệ quả của $f, (x) = 0$ và (2).

Ngược lại giả sử rằng (1) đúng; nói cách khác, ta có $D'(f_\lambda) = 0$ với mọi $\lambda \in A$. Cho $f \in a$; tồn tại một họ có giá hữu hạn $(q_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ trong $E$ sao cho $f = \sum_{\lambda \in \Lambda} q_\lambda \cdot f_\lambda$. Ta có

do đó $D'(f) = 0$ vì $f_\lambda(x)$ và $D'(f_\lambda)$ đều bằng không với mọi $\lambda \in A$. Vì $D'$ triệt tiêu trên $a$, tồn tại một ánh xạ $Z$-tuyến tính $D$ từ $A$ vào $M$ sao cho $D' = D \circ \varphi$; rõ ràng $D$ là đạo hàm cần tìm của $A$ vào $M$.

a) Cho $V$ là một không gian vectơ trên $L$, $A$ là một đạo hàm của $K$ vào $V$ và $(v_i)_{i \in I}$ là một họ các phần tử của $V$. Tồn tại duy nhất một đạo hàm $D$ của $L$ vào $V$, mở rộng $A$ và sao cho $D(x_i) = v_i$ với mọi $i \in I$.

b) Không gian $L$-vectơ $\Omega_K(L)$ của các vi phân $K$ của $L$ có họ $(dx_i)_{i \in I}$ làm cơ sở.

Mệnh đề b) đã được chứng minh trong IV, p. 23 và Mệnh đề a) suy ra trực tiếp từ điều này.

Mệnh đề 3, a) cho thấy mọi $P$-đạo hàm của $K$ vào một không gian vectơ $V$ trên $L$ đều mở rộng thành một $P$-đạo hàm của $L$ vào $V$; tính đơn ánh của $\alpha$ sau đó suy ra từ Mệnh đề 2. Mệnh đề thứ hai của hệ quả suy ra từ tính chính xác của dãy $(\mathbf{E}_{P,K,L})$ và Mệnh đề 3, b) (có tính đến Công thức (4)).

a) Mọi $K$-đạo hàm của $L$ vào $V$ đều là không.

b) Nếu $A$ là một đạo hàm của $K$ vào $V$, tồn tại duy nhất một đạo hàm $D$ của $L$ vào $V$ mở rộng $A$.

Cho $D$ là một $K$-đạo hàm của $L$ vào $V$. Nếu $E$ là một mở rộng con của $L$ có bậc hữu hạn trên $K$, thì $K$-đại số $E$ là étale, và do đó $\Omega_K(E) = 0$ ($V$, p. 33, Th. 3), do đó $D|_E = 0$ theo tính chất phổ quát của $\Omega_K(E)$ (III, p. 569). Vì $L$ là hợp của một họ các mở rộng con có bậc hữu hạn trên $K$, ta có $D = 0$, do đó a).

Cho $A$ là một đạo hàm của $K$ vào $V$. Nếu $D'$ và $D''$ là hai mở rộng của $A$ thành một đạo hàm của $L$ vào $V$, thì hiệu $D' - D''$ là một $K$-đạo hàm của $L$ vào $V$; do đó nó bằng không theo a) và suy ra $D' = D''$.

Còn phải chứng minh sự tồn tại của một mở rộng của $A$. Bổ đề Zorn (E, III, p. 20) suy ra sự tồn tại của một mở rộng cực đại $D_0$ của $A$ thành một đạo hàm xác định trên một trường con $L_0$ của $L$ chứa $K$.

Cho $x$ thuộc $L$ và $g$ là đa thức tối tiểu của $x$ trên $L_0$. Vì $L$ là đại số và tách được trên $K$, $x$ là đại số và tách được trên $L_0$ ($V$, p. 39, Mđ. 6 và p. 39, Hệ quả 2); do đó $x$ là nghiệm đơn của $g$ ($V$, p. 39, Mđ. 5), do đó $g'(x) \neq 0$ (IV, p. 17, Mđ. 7). Nếu ta định nghĩa $g^{D_0}(x)$ như trong $V$, p. 127, khi đó tồn tại một phần tử $u$ của $V$ sao cho $g^{D_0}(x) + g'(x) \cdot u = 0$; theo Mđ. 1 (V, p. 127), tồn tại một đạo hàm $D$ của $L_0(x)$ vào $V$ mở rộng $D_0$ và sao cho $D(x) = u$. Do tính cực đại của $(L_0, D_0)$, ta có $L_0(x) = L_0$, do đó $x \in L_0$. Vì $x$ là tùy ý, ta kết luận rằng $L_0 = L$.

Hệ quả này suy ra từ Mđ. 4, a) vì không gian vectơ $L$ $\Omega_K(L)$ được sinh bởi ảnh của đạo hàm $K$ chính tắc $d_{L/K} : L \to \Omega_K(L)$.

Ánh xạ $\alpha$ là đơn ánh theo Mđ. 2 (V, p. 128) và Mđ. 4, b); vì $\Omega_K(L)$ quy về 0 (Hệ quả 1), tính chính xác của dãy $(E_{P.K.L})$ suy ra rằng $\alpha$ là toàn ánh.

Gọi A là đạo hàm của K vào L trùng với D trên K. Theo Mđ. 4 (V, p. 129), tồn tại một đạo hàm D' của L vào L mở rộng A. Bây giờ ta có thể xem D' và hạn chế D'' của D trên L như các đạo hàm của $L$ vào E; vì chúng trùng nhau trên K, ta có $D' = D''$ theo Mđ. 4, do đó

Đặt $E = K(x_i)_{i \in I}$; Mđ. 3 (V, p. 128) chỉ ra rằng A mở rộng thành một đạo hàm duy nhất $D_0$ của E vào V sao cho $D_0(x_i) = u_i$ với mọi $i \in I$. Trường $L$ là một mở rộng đại số của E và vì L có đặc số 0, L tách được trên E (V, p. 37, Hệ quả). Do đó (V, p. 129, Mđ. 4) $D_0$ mở rộng thành một đạo hàm duy nhất D của $L$ vào V.

Với mỗi $y \in L$ đặt D(y) là lớp thặng dư của $dy$ mod U. Khi đó D là một đạo hàm E của L vào $\Omega_K(L)/U$. Vì K có đặc số 0, mọi mở rộng đại số của E đều tách được (V, p. 37, Hệ quả) ; nếu $x \in L$ là đại số trên E, ta có $Dx = 0$ theo Mệnh đề 4 (V, p. 129), nghĩa là $dx \in U$.

Nếu $x \in L$ là siêu việt trên $E$, tồn tại một đạo hàm E $A$ của $E(x)$ vào $L$ sao cho $\Delta(x) = 1$ ($V$, p. 128, Mệnh đề 3); theo Định lý 1, $A$ mở rộng thành một đạo hàm E D của $L$ vào L. Gọi $\varphi$ là dạng tuyến tính trên $\Omega_K(L)$ sao cho $D = \varphi \circ d$; ta có $\varphi(dy) = 0$ với $y \in E$ và $\varphi(x) = 1$, do đó $dx \notin U$.

Lane (V, p. 124, Nhận xét), các trường $L^p$ và $K$ rời nhau tuyến tính trên $K^p$. Vì $A$ là một ánh xạ tuyến tính $K^p$ của $K$ vào $V$, nó mở rộng một cách duy nhất thành một ánh xạ tuyến tính $L^p$ $A'$ của $K[L^p] = K(L^p)$ vào $V$. Rõ ràng rằng $A'$ là một đạo hàm của $K(L^p)$ vào $V$ triệt tiêu trên $L^p$; do đó nó mở rộng (V, p. 103, Hệ quả 3) thành một đạo hàm của $L$ vào $V$.

Ngược lại, giả sử rằng mọi đạo hàm của $K$ với các giá trị trong $L$ đều mở rộng được thành một đạo hàm của $L$ vào $L$. Cho $B$ là một p-cơ sở của $K$ (V, p. 99) và cho $A$ là tập hợp các họ $(\alpha_h)_{h \in R}$ có giá hữu hạn gồm các số nguyên giữa $()$ và $p - 1$. Với mỗi $b \in B$ tồn tại một đạo hàm $\Delta_b$ của $K$ vào $K$ được đặc trưng bởi $\Delta_b(b') = \delta_{bb'}$ (ký hiệu Kronecker) với mỗi $b' \in B$ (V, p. 103). Theo giả thiết tồn tại với mỗi $b \in B$ một đạo hàm $D_b$ của $L$ vào $L$ mở rộng $\Delta_b$. Ta có $D_b(b') = \delta_{bb'}$ với $b, b'$ trong $B$, điều này chứng minh rằng trong $\Omega_{1/p}(L)$ các vi phân $db$ (với $b \in B$) độc lập tuyến tính trên $L$. Vì vậy (V, p 102, Đl. 1), $B$ là p-tự do trên $L^p$. Suy ra (V, p. 98, Mđề 1 và p. 124, Nhận xét) rằng mở rộng $L$ của $K$ là tách được.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ Mệnh đề 2 (V, p. 128) và Định lý 3. Ngược lại, cho $P$ là một trường con hoàn hảo của $K$; ta có $P = P^p \subset K^p$, do đó mọi đạo hàm của $K$ vào một không gian vectơ $L$ đều là một $P$-đạo hàm; mệnh đề thứ hai của hệ quả nay suy ra từ Hệ quả 2 (V, p. 130) và Định lý 3.

Cho $N$ là hạt nhân, $I$ là ảnh và $C$ là đối hạt nhân của $f$. Ta có $C = V/I$ và $I$ đẳng cấu với $U/N$; do đó ta có $[U : L] = [N : L] + [I : L]$ và $[V : L] = [C : L] + [I : L]$, do đó có kết quả.

$^1$ Không nhất thiết giao hoán. $^2$ Ở bên trái.

Đặt $h = g \circ f$, và ký hiệu N, N', N'' lần lượt là các hạt nhân của f, g, h và C, C', C'' là các đối hạt nhân của chúng. Ta có $N \subset N'' \subset U$ và $f(N'') = f(U) \cap N'$; do đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính $\bar{f} : N'' \to N'$ trùng với f trên N'' và có hạt nhân N. Ánh xạ chính tắc $\pi$ của V lên $C = V / f(U)$ cảm sinh một ánh xạ $\pi'$ từ N' vào C có hạt nhân là $f(U) \cap N' = \bar{f}(N'')$. Qua phép lấy thương, g xác định một ánh xạ $\bar{g}$ từ $C = V/f(U)$ vào $C'' = W/g(f(U))$ có hạt nhân rõ ràng là $(N' + f(U))/f(U) = \pi'(N')$. Cuối cùng, ánh xạ chính tắc $\rho$ của $C'' = W/g(f(U))$ lên $C' = W/g(V)$ có hạt nhân $g(V)/g(f(U)) = \bar{g}(C)$. Tóm lại, ta đã chứng minh tính khớp của dãy

(trong đó i là đơn ánh chính tắc của N vào N").

!Biểu đồ cho thấy các quan hệ giữa N, N', N'', U, V, W, C, C', C'', với các mũi tên chỉ các ánh xạ và hạt nhân

Hình 1

Theo giả thiết N, N', C và C' có số chiều hữu hạn; do đó N'' và C cũng có tính chất ấy. Theo Hệ quả 2 (II, p. 295), ta có

do đó $\chi(h) = \chi(f) + \chi(g)$.

Nếu $E$ và $F$ là hai mở rộng con của $L$ sao cho $E \subset F$, ta ký hiệu $\alpha(F/E)$ là ánh xạ F-tuyến tính chính tắc từ $\Omega_p(E) \otimes_E F$ vào $\Omega_p(F)$ và khi nó được xác định, chỉ số của $\alpha(F/E)$ sẽ được ký hiệu là $d(F/E)$. Nếu $E, F$ và $G$ là ba mở rộng con của $L$ sao cho $E \subset F \subset G$, ta có một biểu đồ giao hoán

trong đó $\beta$ là đẳng cấu chính tắc được xác định trong Mệnh đề 2 (II, p. 278). Vì chỉ số rõ ràng là bất biến qua mở rộng vô hướng và chỉ số của một đẳng cấu bằng không, Bổ đề 2 ($V$, p. 133) cho thấy chỉ số $d(G/E)$ được xác định khi $d(F/E)$ và $d(G/F)$ được xác định, và khi đó

Vì $L$ là một mở rộng sinh hữu hạn của $K$, Công thức (5) và Hệ quả của $V$, p. 111 cho thấy chỉ cần xét trường hợp tồn tại $x$ sao cho $L = K(x)$; hơn nữa, nếu $x$ là đại số trên $K$, tồn tại một lũy thừa $q$ của số mũ đặc số của $L$ sao cho $x^q$ là đại số tách được trên $K$ ($V$, p. 44, Mệnh đề 13). Do đó chỉ cần chứng minh đẳng thức $d(L/K) = \operatorname{tr} . \deg_K L$ trong ba trường hợp đặc biệt dưới đây:

a) $x$ là siêu việt trên $K$: khi đó $a$ là đơn ánh và đối hạt nhân của nó có hạng 1 trên $L$ ($V$, p. 129, Cor.) ; do đó $d(L/K) = 1$ và cũng $\operatorname{tr} . \deg_K L = 1$.

b) $x$ là đại số tách được trên $K$: khi đó $a$ là song ánh ($V$, p. 130, Cor. 2), do đó $d(L/K) = 0$; rõ ràng cũng $\operatorname{tr} . \deg_K L = 0$.

c) Trường $L$ có đặc số $p \neq 0$, $x \notin K$ và $x^p = a$ thuộc $K$: đối hạt nhân $C$ của $a$ đẳng cấu với $\Omega_K(L)$, và vì $\{ x \}$ là một $p$-cơ sở của $L$ trên $K$, không gian $C$ có chiều 1 trên $L$ ($V$, p. 102, Đl. 1). Vì $a$ là một lũy thừa $p$-th trong $L$, ta có $d_{L/pa} = 0$ và hạt nhân của $a$ chứa không gian con $R$ của $U = \Omega_p(K) \otimes_K L$ sinh bởi $d_{K/pa} \otimes 1$. Với mỗi $y \in K$ cho $\Delta(y)$ là lớp thặng dư của $d_{K/p}y \otimes 1$ mod $R$; khi đó $A$ là một $P$-đạo hàm của $K$ vào $U/R$ sao cho $\Delta(a) = 0$. Mệnh đề 5 ($V$, p. 101) chỉ ra rằng $A$ mở rộng thành một $P$-đạo hàm $D$ của $L$ vào $U/R$. Do đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính $L$ $\beta : \Omega_p(L) \to U/R$ sao cho $D = \beta \circ d_{L/P}$ và $\beta \circ a$ là ánh xạ chính tắc của $U$ lên $U/R$. Điều này chứng minh rằng $R$ là hạt nhân của $a$. Vì $P$ hoàn hảo, ta có $P(K^P) = K^p$, do đó $a \notin P(K^P)$ và cuối cùng $d_{K/pa} \neq 0$ ($V$, p. 103, Mệnh đề 6). Hạt nhân và đối hạt nhân của $a$ do đó có chiều 1, do đó $d(L/K) = 0$, và ta cũng có $\operatorname{tr} . \deg_K L = 0$.

Gọi P là trường con nguyên tố của K. Gọi N là hạt nhân của α, khi đó theo tính chính xác của dãy $(\mathbf{E}_{P,K,L})$ (V, p. 128) và Định lý 4, ta có $[ \Omega_K(L) : L ] = s + [N : L]$; theo V, p. 132, Hệ quả, mở rộng L của K là tách được khi và chỉ khi $N = 0$. Hệ quả được suy ra.