Bài tập 8, § 16

Cho $k$ là một trường và $L$ là một mở rộng của $k$. Hãy chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) $L$ là một mở rộng đại số tách được của một mở rộng siêu việt thuần túy sinh hữu hạn.

(ii) $L$ là một mở rộng tách được của $k$ và

(Để chứng minh (ii) ⇒ (i), ta có thể tiến hành như sau: lấy x,, ..., x_n trong L sao cho dx,, ..., dx, lập thành một cơ sở của $\Omega_k(L)$ và đặt K = k(x_1, ..., x_n). Trước hết hãy chứng minh rằng tr. deg_k(K) = n và do đó K là một mở rộng siêu việt thuần túy của k. Cho L' là một mở rộng đại số hữu hạn của K được chứa trong L. Bằng cách so sánh ánh xạ chính tắc $u : \Omega_k(K) \otimes_K L' \to \Omega_k(L')$ với ánh xạ chính tắc $\Omega_k(K) \otimes_K L \to \Omega_k(L)$, hãy chứng minh rằng u là đơn ánh. Tính [$\Omega_k(L') : L'$] (V, p. 134, Hệ quả 1). Suy ra rằng u là song ánh và do đó $\Omega_k(L') = 0$. Hãy chứng minh rằng L' tách được trên K; suy ra rằng L tách được trên K.)