Exercice 8, § 16

Soient k un corps et L une extension de k. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) L est une extension algébrique séparable d’une extension transcendante pure de type fini. (ii) L est une extension séparable de k et on a

(Pour démontrer (ii) ⇒ (i) on pourra opérer comme suit : soient x_1, ..., x_n dans L tels que dx_1, ..., dx_n forment une base de $\Omega_k(L)$ et posons K = k(x_1, ..., x_n). On montrera d’abord que deg.tr_k(K) = n et par suite que K est une extension transcendante pure de k. Soit L’ une extension algébrique finie de K contenue dans L. En comparant l’application canonique u : $\Omega_k(K) \otimes_K L' \to \Omega_k(L')$ avec l’application canonique $\Omega_k(K) \otimes_K L \to \Omega_k(L)$, montrer que u est injective. Calculer $[\Omega_k(L') : L']$ (V, p. 128, cor. 1). En déduire que u est bijectif et par suite que $\Omega_k(L') = 0$. Montrer que L’ est séparable sur K ; en déduire que L est séparable sur K.)