Bài tập 9, § 2

Cho một A-môđun E, với mọi môđun con M của E (tương ứng mọi môđun con M’ của E*), ta ký hiệu $M^0$ (tương ứng ${M'}^0$) là phần tử trực giao của M trong E* (tương ứng phần tử trực giao của M’ trong E). Ta xét bốn điều kiện sau: (A) Đồng cấu chính tắc $c_E : E \to E^{**}$ là song ánh. (B) Với mọi môđun con M của E, đồng cấu chính tắc $E^*/M^0 \to M^*$ là song ánh. (C) Với mọi môđun con M của E, ta có $M^{00} = M$. (D) Với mọi cặp môđun con M, N của E, ta có

a) Chứng minh rằng điều kiện (B) kéo theo (D) (chứng minh rằng với $x^* \in (M \cap N)^0$, tồn tại $y^* \in E^*$ sao cho $\langle x + y, y^* \rangle = \langle x, x^* \rangle$ với $x \in M$ và $y \in N$). b) Cho A là một vành không có ước của không, nhưng không có trường phân thức trái (chẳng hạn đại số tenxơ của một không gian vectơ có chiều > 1, cf. III, p. 185, exerc. 5). Nếu lấy $E = A_s$, điều kiện (A) được thỏa mãn, nhưng không có điều kiện nào trong các điều kiện (B), (C), (D) (về một ví dụ trong đó (B), (C), (D) được thỏa mãn, nhưng không phải (A), xem II, p. 103, th. 6). c) Ta lấy A là một vành tích $K^I$, trong đó K là một trường giao hoán và I là một tập vô hạn. Chứng minh rằng A-môđun $E = A$ thỏa mãn các điều kiện (A) và (B), nhưng không phải (C) (nhận xét rằng các linh hóa tử của các iđêan của A đều có dạng $K^J$, trong đó $J \subset I$). d) Giả sử rằng đối với hai môđun con M, N của E sao cho $N \subset M$ và $N \neq M$, đối ngẫu $(M/N)^*$ không thu gọn về 0; khi đó chứng minh rằng điều kiện (B) kéo theo (C). e) Hạt nhân của $c_E$ là phần tử trực giao $(E^*)^0$ của $E^*$ trong E. Hãy cho một ví dụ trong đó cả $E^*$ lẫn $(E^*)^0$ đều không thu gọn về 0 (xét một môđun chứa một phần tử mà linh hóa tử của nó chứa một phần tử không phải là ước của không). f) Cho M là một nhân tử trực tiếp của E; chứng minh rằng ta có $M^{00} = M + (E^*)^0$.