Exercice 21, § 7

Avec les notations du th. 8 de II, p. 107, on désigne par u l’application linéaire x ↦ ⟨⟨x, x_i^*⟩⟩ de E dans K_s^I, et on pose y_0 = (η_i). On identifie K_d^{(I)} à un sous-espace du dual de K_s^I par l’application canonique de K_d^{(I)} dans son bidual; montrer alors que si N’ est le noyau de t u, la condition du th. 8 (II, p. 107) exprime que y_0 est orthogonal à l’intersection de N’ et de K_d^{(I)}. Lorsque I est infini et que le système (21) (II, p. 107) est de rang fini, montrer que cette intersection est distincte de N’ (remarquer que N’ est alors de codimension finie).