Exercice 20, § 7

Soit E un espace vectoriel. a) Montrer que si M et N sont deux sous-espaces vectoriels de E, M', N' les orthogonaux de M et N respectivement dans E*, l’orthogonal de M ∩ N est M' + N' (cf. II, p. 184, exerc. 9 a)). b) Si E est de dimension infinie, montrer qu’il existe des hyperplans H’ de E* tels que le sous-espace de E orthogonal à H’ soit réduit à 0 (considérer un hyperplan contenant les formes coordonnées correspondant à une base de E). c) Montrer que si E est de dimension infinie, il existe une famille infinie (V_t) de sous-espaces de E telle que, si V'_t est le sous-espace de E* orthogonal à V_t, le sous-espace de E* orthogonal à ∩ V_t soit distinct de ∑ V'_t. d) Déduire de b) que si E est de dimension infinie, il existe une décomposition V' ⊕ W' de E* en somme directe, W' étant de dimension finie, pour laquelle la somme V + W des sous-espaces V, W de E orthogonaux respectivement à V' et W', soit distincte de E. e) Pour qu’un sous-espace de E soit de dimension finie, il faut et il suffit que son orthogonal dans E* soit de codimension finie.