Bài tập 20, § 7

Cho E là một không gian vectơ.

(a) Chứng minh rằng nếu M và N là hai không gian con vectơ của E và $M', N'$ lần lượt là các trực giao của $M$ và $N$ trong $E^*$, thì trực giao của $M \cap N$ là $M' + N'$ (xem § 2, Bài tập 9 (a)).

(b) Nếu $E$ là vô hạn chiều, chứng minh rằng tồn tại các siêu phẳng $H'$ của $E^*$ sao cho không gian con của $E$ trực giao với $H'$ thu về 0 (xét một siêu phẳng chứa các dạng tọa độ tương ứng với một cơ sở của $E$).

(c) Chứng minh rằng nếu $E$ là vô hạn chiều thì tồn tại một họ vô hạn $(V_i)$ các không gian con của $E$ sao cho, nếu $V'_i$ là không gian con của $E^*$ trực giao với $V_i$, thì không gian con của $E^*$ trực giao với $\bigcap_i V_i$ phân biệt với $\sum_i V'_i$.

(d) Suy ra từ (b) rằng nếu $E$ là vô hạn chiều, thì tồn tại một phân tích $V' \oplus W'$ của $E^*$ thành tổng trực tiếp, trong đó $W'$ là hữu hạn chiều, mà với nó tổng $V + W$ của các không gian con $V, W$ của $E$ lần lượt trực giao với $V'$ và $W'$ là phân biệt với $E$.

(e) Điều kiện cần và đủ để một không gian con của $E$ là hữu hạn chiều là trực giao của nó trong $E^*$ có đối chiều hữu hạn.