Exercice 8, § 5

Soient $A$ un anneau intègre, $K$ son corps des fractions; pour tout $A$-module $M$, on désigne par $\tau(M)$ son sous-module de torsion (II, p. 115). a) Montrer que pour que l’algèbre $T(M)$ soit sans diviseur de zéro, il faut et il suffit que le $A$-module $T(M)$ soit sans torsion (observer que $T(M)_{(K)}$ est isomorphe à $T(M_{(K)})$ et utiliser l’exerc. 5 de III, p. 185). b) Soit $u : M \to M'$ un homomorphisme injectif de $A$-modules. Montrer que $\operatorname{Ker}(T(u)) \subset \tau(T(M))$; si $M'$ est sans torsion, on a $\operatorname{Ker}(T(u)) = \tau(T(M))$ (cf. II, p. 118, prop. 27). c) Donner un exemple de $A$-module $M$ sans torsion tel que $\tau(T(M))$ ne soit pas réduit à 0 (II, p. 197, exerc. 31).