Bài tập 8, § 5

Cho A là một miền nguyên và K là trường các phân thức của nó; với mọi A-môđun M, ký hiệu $\tau(M)$ là môđun xoắn của nó (II, § 7, no. 10).

(a) Chứng minh rằng để đại số $T(M)$ không có ước của không, điều kiện cần và đủ là A-môđun $T(M)$ không xoắn (hãy nhận thấy rằng $T(M)_K$ đẳng cấu với $T(M_K)$ và dùng Bài tập 5).

(b) Cho $u : M \to M'$ là một đồng cấu đơn ánh của các A-môđun. Chứng minh rằng $\operatorname{Ker}(T(u)) \subset \tau(T(M))$; nếu $M'$ không xoắn, thì $\operatorname{Ker}(T(u)) = \tau(T(M))$ (xem II, § 7, no. 10, Mệnh đề 27).

(c) Cho một ví dụ về một A-môđun không xoắn M sao cho $\tau(T(M))$ khác không (II, § 7, Bài tập 31).