Exercice 3, § 7

a) Soient $G$ un groupe, $M$ une partie infinie de $G$. Montrer que si $G'$ est le sous-groupe de $G$ engendré par $M$, on a $\mathrm{Card}(G') = \mathrm{Card}(M)$. b) Soient $K$ un corps, $M$ une partie infinie de $K$. Montrer que si $K'$ est le sous-corps de $K$ engendré par $M$, on a $\mathrm{Card}(K') = \mathrm{Card}(M)$. (Considérer deux suites $(A_n)_{n \geq 0}$, $(P_n)_{n \geq 0}$ de parties de $K$ telles que $A_0 = M$, que $P_n$ soit le sous-groupe multiplicatif de $K^*$ engendré par $A_n \cap K^*$, et $A_{n+1}$ le sous-groupe additif de $K$ engendré par $P_n$; puis appliquer $a$.) c) Soient $K$ un corps, $I$ un ensemble infini; montrer que l’on a $\mathrm{Card}(K) \leq \dim(K_s^I)$. (Se ramener au cas $I = \mathbf{N}$, et raisonner par l’absurde. Soit $B$ une base de $K_s^{\mathbf{N}}$ telle que

Card(B) < Card(K), et soit L le sous-corps de K engendré par les coordonnées de tous les éléments de B; on a Card(L) < Card(K). Former une suite (\xi_n)_{n \geq 1} d’éléments de K telle que pour tout n, \xi_n n’appartienne pas au sous-corps de K engendré par L et les \xi_i d’indice i < n; puis appliquer l’exerc. 2 pour obtenir une contradiction, en considérant le point x = (\xi_n) de K_s^{\mathbf{N}}.) d) Déduire de c) que pour tout corps K et tout ensemble infini I, on a dim(K_s^I) = (Card(K))^{Card(I)} (« théorème d’Erdös-Kaplansky »).