Bài tập 3, § 7

(a) Cho G là một nhóm và M là một tập con vô hạn của G. Hãy chứng minh rằng nếu $G'$ là nhóm con của G sinh bởi M, thì $\mathrm{Card}(G') = \mathrm{Card}(M)$.

(b) Cho K là một trường và M là một tập con vô hạn của K. Hãy chứng minh rằng nếu $K'$ là trường con của K sinh bởi M, thì $\mathrm{Card}(K') = \mathrm{Card}(M)$. (Xét hai dãy $(A_n)_{n \geq 0}$, $(P_n)_{n \geq 0}$ các tập con của K sao cho $A_0 = M$, $P_n$ là nhóm con nhân của $K^*$ sinh bởi $A_n \cap K^*$ và $A_{n+1}$ là nhóm con cộng tính của K sinh bởi $P_n$; rồi áp dụng (a).)

(c) Cho K là một trường và I là một tập vô hạn; hãy chứng minh rằng $\mathrm{Card}(K) \leq \dim(K_s^I)$. (Rút gọn về trường hợp $I = \mathbf{N}$ và lập luận bằng phép phản chứng. Cho B là một cơ sở của $K_s^\mathbf{N}$ sao cho $\mathrm{Card}(B) < \mathrm{Card}(K)$ và cho L là trường con của K sinh bởi các tọa độ của mọi phần tử của B; khi đó $\mathrm{Card}(L) < \mathrm{Card}(K)$. Lập một dãy $(\xi_n)_{n \geq 1}$ các phần tử của K sao cho với mọi n, $\xi_n$ không thuộc trường con của K sinh bởi L và các $\xi_i$ có chỉ số $i < n$; rồi áp dụng Bài tập 2 để thu được một mâu thuẫn, bằng cách xét điểm $x = (\xi_n)$ của $K_s^\mathbf{N}$.)

(d) Suy ra từ (c) rằng với mọi trường K và mọi tập vô hạn I,

("định lý Erdös–Kaplansky").