Exercice 25, § 11

Soit C une cogèbre sur un anneau A. On dit qu’un sous-A-module S de C est un coïdéal si l’on a $c(S) \subset \operatorname{Im}(S \otimes C) + \operatorname{Im}(C \otimes S)$. Si C est coünifère, de coünité $\gamma$, on dit qu’un coïdéal S est conul si $\gamma(x) = 0$ pour $x \in S$.

a) Un coïdéal à droite ou à gauche est un coïdéal. Toute somme de coïdéaux est un coïdéal.

b) Si S est un coïdéal de C, l’orthogonal $S^0$ est une sous-algèbre de l’algèbre duale $C^*$. Si C est coünifère et S est conul, $S^0$ est unifère.

c) On suppose que A est un corps, et C une cogèbre coünifère. Montrer que si E’ est une sous-algèbre unifère de $C^*$ ayant même élément unité que $C^*$, l’orthogonal ${E'}^0$ dans C est un coïdéal conul.

d) Si S est un coïdéal de C, montrer qu’il existe sur $C/S$ une structure de cogèbre et une seule telle que l’application canonique $p : C \to C/S$ soit un morphisme de cogèbres. Si C est coünifère et si S est conul, $C/S$ est coünifère.

e) Pour tout morphisme $f : C \to C'$ de cogèbres, $S = \operatorname{Ker}(f)$ est un coïdéal de C, $S' = \operatorname{Im}(f)$ une sous-cogèbre de $C'$, et dans la factorisation canonique $C \xrightarrow{p} C/S \xrightarrow{g} S' \xrightarrow{j} C'$ de $f$, g est un isomorphisme de cogèbres.