Bài tập 25, § 11

Cho C là một đối đại số trên một vành A. Một A-môđun con S của C được gọi là một đối iđêan nếu c(S) ⊂ Im(S ⊗ C) + Im(C ⊗ S). Nếu C có đồng đơn vị, với đồng đơn vị γ, một đối iđêan S được gọi là conull nếu γ(x) = 0 với x ∈ S.

(a) Một đối iđêan phải hoặc trái là một đối iđêan. Mọi tổng của các đối iđêan đều là một đối iđêan. (b) Nếu S là một đối iđêan của C, trực giao S^0 là một đại số con của đại số đối ngẫu C*. Nếu C có đồng đơn vị và S là conull, thì S^0 có đơn vị. (c) Giả sử rằng A là một trường và C là một đối đại số có đồng đơn vị. Chứng minh rằng nếu E' là một đại số con có đơn vị của C* với cùng phần tử đơn vị như C*, thì trực giao E'^0 trong C là một đối iđêan conull. (d) Nếu S là một đối iđêan của C, chứng minh rằng tồn tại trên C/S một và chỉ một cấu trúc đối đại số sao cho ánh xạ chính tắc p: C → C/S là một cấu xạ đối đại số. Nếu C có đồng đơn vị và S là conull, thì C/S có đồng đơn vị. (e) Với mọi cấu xạ đối đại số f: C → C', S = Ker(f) là một đối iđêan của C, S' = Im(f) là một đối đại số con của C' và, trong sự phân tích chính tắc

của f, g là một đẳng cấu đối đại số.

(26) Cho C là một đối đại số kết hợp đối có đồng đơn vị trên một trường giao hoán K.

(a) Với mọi không gian con vectơ E của C là một C*-môđun trái dưới luật (u, x) ↦ u ↼ x, linh hóa tử trái của C*-môđun này là một iđêan hai phía J' của đại số C*. Chứng minh rằng nếu E hữu hạn chiều trên K, thì C*/J' hữu hạn chiều. (b) Suy ra từ (a) rằng với mọi phần tử x ∈ C, đối đại số con của C sinh bởi x là hữu hạn chiều. (Chú ý rằng C*-môđun E sinh bởi x là hữu hạn chiều và rằng, nếu J' là linh hóa tử trái của nó, thì x ∈ J'^0, trực giao của J' trong C.)

(27) Cho B là một đại số kết hợp có đơn vị trên một trường giao hoán K và cho m: B ⊗_K B → B là ánh xạ K-tuyến tính xác định phép nhân trên B. Tích tenxơ B* ⊗_K B* (trong đó B* là không gian vectơ đối ngẫu của không gian vectơ B) được đồng nhất một cách chính tắc với một không gian con vectơ của (B ⊗_K B)* (II, § 7, no. 7, Mệnh đề 16).

(a) Chứng minh rằng với một phần tử w ∈ B* các điều kiện sau là tương đương: (1) ^t m(w) ∈ B* ⊗ B*; (2) tập hợp các x ↼ w, khi x chạy qua B, là một không gian con hữu hạn chiều của B*; (3) tập hợp các w ↼ x, khi x chạy qua B, là một không gian con hữu hạn chiều của B*; (4) tập hợp các x ↼ w ↼ y, khi x và y chạy qua B, được chứa trong một không gian con hữu hạn chiều của B*.

(b) Cho $B' \subset B^*$ là tập hợp các $w \in B^*$ thỏa mãn các điều kiện tương đương trong (a). Chứng minh rằng $^t m(B') \subset B' \otimes_K B'$. (Với $w \in B'$, viết $^t m(w) = \sum_i u_i \otimes v_i$, trong đó chẳng hạn các $u_i$ độc lập tuyến tính trong $B^*$; chứng minh khi đó rằng $v_i \in B'$ với mọi $i$ bằng cách dùng tính kết hợp của $B$ và lập luận bằng phản chứng. ) Do đó $B'$ là đối đại số lớn nhất được chứa trong $B^*$ mà với nó $^t m$ là đồng tích. $B'$ được gọi là đối đại số đối ngẫu của đại số $B$. Khi $B$ hữu hạn chiều, $B' = B^*$.

(c) Chứng minh rằng nếu $B$ là một trường giao hoán có chiều vô hạn trên $K$, thì $B' = \{0\}$. (Chú ý rằng trực giao của tập hợp các $x \perp w$, với cùng $w \in B^*$, $x$ chạy qua $B$, là một iđêan của $B$.)

(d) Cho $B_1, B_2$ là hai $K$-đại số và $f : B_1 \to B_2$ là một $K$-đồng cấu các đại số. Chứng minh rằng $^t f(B'_2) \subset B'_1$ và rằng $^t f$, hạn chế trên $B'_2$, là một đồng cấu đối đại số từ $B'_2$ vào $B'_1$.

(e) Nếu $C$ là một đối đại số kết hợp đối có đồng đơn vị trên $K$, đơn ánh chính tắc $C \to C^{**}$ của không gian vectơ $C$ vào đối ngẫu kép của nó ánh xạ $C$ lên một không gian con của $(C^*)'$, đối đại số đối ngẫu của đại số $C^*$ đối ngẫu với $C$, và là một đồng cấu đối đại số từ $C$ vào $(C^*)'$.