Exercice 9, § 7

Soit K un corps. a) Dans l’espace vectoriel E = K_s^{(\mathbf{Z})}, on désigne par (e_n)_{n \in \mathbf{Z}} la base canonique; soit v l’automorphisme de E défini par les relations v(e_n) = e_{n+1} pour tout n \in \mathbf{Z}. Si u = 1_E - v, montrer que u est un endomorphisme injectif de E, mais que \dim(\mathrm{Coker}(u)) = 1. b) Dans l’espace vectoriel E = K_s^{(\mathbf{N})}, on désigne par (e_n)_{n \in \mathbf{N}} la base canonique; soit v l’endomorphisme de E défini par v(e_0) = e_0, v(e_n) = e_{n-1} + e_n pour n \geqslant 1. Montrer que v est un automorphisme de E, et que, si u = 1_E - v, u est un endomorphisme surjectif de E tel que \dim(\mathrm{Ker}(u)) = 1. c) Soit I un ensemble non vide. Montrer que tout automorphisme u de l’espace vectoriel E = K_s^{(I)} peut s’écrire comme différence u = v - w de deux automorphismes de E, sauf lorsque K n’a que 2 éléments et que I est réduit à un seul élément. (Remarquer qu’il suffit de prouver qu’un automorphisme particulier u est de la forme voulu; lorsque K est un corps à 2 éléments, considérer séparément les cas où Card(I) = 2 et Card(I) = 3.)