Bài tập 9, § 7

Cho K là một trường. (a) Trong không gian vectơ $E = K_s^{(\mathbf{Z})}$, gọi $(e_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ là cơ sở chính tắc; gọi v là tự đẳng cấu của E được xác định bởi các hệ thức $v(e_n) = e_{n+1}$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$. Nếu $u = 1_E - v$, hãy chứng minh rằng u là một tự đồng cấu đơn ánh của E, nhưng $\dim(\mathrm{Coker}(u)) = 1$. (b) Trong không gian vectơ $E = K_s^{(\mathbf{N})}$, gọi $(e_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là cơ sở chính tắc; gọi v là tự đồng cấu của E được xác định bởi $v(e_0) = e_0, v(e_n) = e_{n-1} + e_n$ với $n \geq 1$. Hãy chứng minh rằng v là một tự đẳng cấu của E và rằng, nếu $u = 1_E - v$, thì u là một tự đồng cấu toàn ánh của E sao cho $\dim(\mathrm{Ker}(u)) = 1$. (c) Gọi I là một tập hợp khác rỗng. Hãy chứng minh rằng mọi tự đẳng cấu u của không gian vectơ $E = K_s^{(I)}$ đều có thể viết được dưới dạng một hiệu $u = v - w$ của hai tự đẳng cấu của E, trừ trường hợp K chỉ có hai phần tử và I gồm một phần tử duy nhất. (Chú ý rằng chỉ cần chứng minh rằng một tự đẳng cấu u nào đó có dạng được yêu cầu; khi K là một trường có hai phần tử, hãy xét riêng các trường hợp $\mathrm{Card}(I) = 2$ và $\mathrm{Card}(I) = 3$.)