Exercice 2, § 5

Soient I et J deux ensembles finis, $I_0 = I \cup \{\alpha\}$, $J_0 = J \cup \{\beta\}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments n’appartenant pas à I et J respectivement, et supposons que $I_0$ et $J_0$ soient disjoints. Soient E un espace vectoriel de rang fini sur un corps commutatif K, et soit z un élément de $T_J^I(E)$. Pour tout $i \in I$, soit $W'_i$ le sous-espace de $E^*$ formé des $x^* \in E^*$ tels que l’on ait $c^i_\beta(z \otimes x^*) = 0$ ($c^i_\beta$ étant la contraction de l’indice $i \in I$ et de l’indice $\beta \in J_0$ dans $T_{J_0}^I(E)$), et soit $V_i$ le sous-espace de E orthogonal à $W'$. Pour tout $j \in J$, soit $W_j$ le sous-espace de E formé des $x \in E$ tels que l’on ait $c^{\alpha}_j(z \otimes x) = 0$ ($c^{\alpha}_j$ étant la contraction de l’indice $\alpha \in I_0$ et de l’indice $j \in J$ dans $T_{J_0}^{I_0}(E)$), et soit $V'_j$ le sous-espace de $E^*$ orthogonal à $W_j$. Montrer que z appartient au produit tensoriel $(\bigotimes_{i \in I} V_i) \otimes (\bigotimes_{j \in J} V'_j)$ identifié canoniquement à un sous-espace de $T_J^I(E)$. En outre, si $(U_i)_{i \in I}$ est une famille de sous-espaces de E, $(U'_j)_{j \in J}$ une famille de sous-espaces de $E^*$, telles que z appartienne au produit tensoriel $(\bigotimes_{i \in I} U_i) \otimes (\bigotimes_{j \in J} U'_j)$, identifié à un sous-espace de $T_J^I(E)$, on a $V_i \subset U_i$ et $V'_j \subset U'_j$ quels que soient $i \in I$ et $j \in J$ (cf. II, p. 112, prop. 17).