Bài tập 2, § 5

Cho I và J là hai tập hợp hữu hạn, I_0 = I ∪ {α}, J_0 = J ∪ {β}, trong đó α và β là hai phần tử lần lượt không thuộc I và J, và giả sử rằng I_0 và J_0 rời nhau. Cho E là một không gian vectơ hạng hữu hạn trên một trường giao hoán K và cho z là một phần tử của T_J^I(E). Với mọi i ∈ I, gọi W_i' là không gian con của E* gồm các x* ∈ E* sao cho c_β^i(z ⊗ x*) = 0 (c_β^i là phép co theo chỉ số i ∈ I và chỉ số β ∈ J_0 trong T_{J_0}^I(E)) và gọi V_i là không gian con của E trực giao với W_i'. Với mọi j ∈ J, gọi W_j là không gian con của E gồm các x ∈ E sao cho c_j^α(z ⊗ x) = 0 (c_j^α là phép co theo chỉ số α ∈ I_0 và chỉ số j ∈ J trong T_{J_0}^{I_0}(E)) và gọi V_j' là không gian con của E* trực giao với W_j. Chứng minh rằng z thuộc tích tenxơ $\left( \bigotimes_{i \in I} V_i \right) \otimes \left( \bigotimes_{j \in J} V_j' \right)$ được đồng nhất một cách chính tắc với một không gian con của T_J^I(E). Hơn nữa, nếu (U_i)_{i \in I} là một họ các không gian con của E, (U_j')_{j \in J} là một họ các không gian con của E* sao cho z thuộc tích tenxơ $\left( \bigotimes_{i \in I} U_i \right) \otimes \left( \bigotimes_{j \in J} U_j' \right)$, được đồng nhất với một không gian con của T_J^I(E), thì V_i ⊂ U_i và V_j' ⊂ U_j' với mọi i ∈ I và j ∈ J (x. II, § 7, no. 8, Mệnh đề 17).