Exercice 16, § 1

Soit A un anneau tel qu’il existe un A-module M ayant un système générateur de n éléments, mais contenant un système libre de n + 1 éléments. a) Montrer qu’il existe dans A_s^n un système libre de n + 1 éléments. b) En déduire qu’il existe dans M un système libre infini (construire un tel système par récurrence, en utilisant a)). c) Soient C un anneau, E le C-module libre C_s^{(N)}, (e_n) sa base canonique, A l’anneau des endomorphismes de E. On désigne par u_1 et u_2 les endomorphismes de E définis par les conditions u_1(e_{2n}) = e_n, u_1(e_{2n+1}) = 0, u_2(e_{2n+1}) = e_n, u_2(e_{2n}) = 0 pour tout n ≥ 0. Montrer que u_1 et u_2 forment une base du A-module A_s et en déduire que dans le A-module A_s il existe des systèmes libres infinis. \* d) Soit A l’algèbre tensorielle d’un espace vectoriel E de dimension ≥ 2 sur un corps commutatif (cf. III, p. 56). Montrer que dans le A-module A_s il existe des systèmes libres infinis (observer que deux vecteurs linéairement indépendants dans E sont linéairement indépendants dans A_s et utiliser b)). Par contre, pour tout entier n > 0, toute base du A-module A_s^n a n éléments (cf. II, p. 97, prop. 3).*