Bài tập 16, § 1

Cho A là một vành sao cho tồn tại một A-môđun M có một hệ sinh gồm n phần tử nhưng chứa một hệ tự do gồm $n + 1$ phần tử.

(a) Chứng minh rằng tồn tại trong $A_s^n$ một hệ tự do gồm $n + 1$ phần tử.

(b) Suy ra rằng tồn tại trong M một hệ tự do vô hạn (xây dựng một hệ như vậy bằng quy nạp, sử dụng (a)).

(c) Cho C là một vành, E là C-môđun tự do $C_s^{(N)}$, $(e_n)$ là cơ sở chính tắc của nó và A là vành các tự đồng cấu của E. Kí hiệu $u_1$ và $u_2$ là các tự đồng cấu của E được xác định bởi các điều kiện $u_1(e_{2n}) = e_n, \quad u_1(e_{2n+1}) = 0, \quad u_2(e_{2n+1}) = e_n, \quad u_2(e_{2n}) = 0$ với mọi $n \geq 0$. Chứng minh rằng $u_1$ và $u_2$ lập thành một cơ sở của A-môđun $A_s$ và suy ra rằng trong A-môđun $A_s$ tồn tại các hệ tự do vô hạn.

(d) Cho A là đại số tenxơ của một không gian vectơ E có chiều $\geq 2$ trên một trường giao hoán (xem III, § 5, no. 1). Chứng minh rằng trong A-môđun $A_s$ tồn tại các hệ tự do vô hạn (nhận thấy rằng hai vectơ độc lập tuyến tính trong E là độc lập tuyến tính trong $A_s$ và dùng (b)). Mặt khác, với mọi số nguyên $n > 0$, mọi cơ sở của A-môđun $A_s^n$ đều có $n$ phần tử (xem § 7, no. 2, Mệnh đề 3).