Exercice 1, § 6

Soient $(E_n, f_{nm})$ le système projectif de $\mathbf{Z}$-modules, dont $\mathbf{N}$ est l’ensemble d’indices, tel que $E_n = \mathbf{Z}$ pour tout $n$ et que, pour $n \leq m$, $f_{nm}$ soit l’application $x \mapsto 3^{m-n}x$. Pour tout $n$, soit $u_n$ l’application canonique $E_n \to \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$. Montrer que $(u_n)$ est un système projectif d’applications linéaires surjectives, mais que $\lim_{\leftarrow} u_n$ n’est pas surjective.