Exercice 11, § 3

Soient A un anneau, $a$ un idéal de A, S la partie multiplicative de A formée des éléments dont l’image canonique dans $A/a$ est non diviseur de 0 ; soit $\Phi$ l’ensemble des éléments maximaux de l’ensemble des idéaux de A ne rencontrant pas S (de sorte que les idéaux $p \in \Phi$ sont premiers, cf. § 2, n° 5, prop. 11). Montrer que $a$ est l’intersection de ses saturés pour les idéaux $p \in \Phi$ (se ramener au cas où $a = 0$ et utiliser le cor. 1 du th. 1).