Exercice 17, § 1

Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$-module. On dit qu’un idéal premier $p$ de $A$ est faiblement associé à $M$ s’il existe un $x \in M$ tel que $p$ soit un élément minimal de l’ensemble des idéaux premiers contenant $\mathrm{Ann}(x)$; on désigne par $\mathrm{Ass}_f(M)$ l’ensemble des idéaux faiblement associés à $M$. On a $\mathrm{Ass}(M) \subset \mathrm{Ass}_f(M)$.

a) Montrer que la relation $M \neq 0$ est équivalente à $\mathrm{Ass}_f(M) \neq \varnothing$.

b) Pour que $a \in A$ soit tel que $a_M$ soit injective, il faut et il suffit que $a$ n’appartienne à aucun élément de $\mathrm{Ass}_f(M)$ (remarquer que si $a$ appartient à la racine d’un idéal $\mathrm{Ann}(x)$ avec $x \neq 0$ dans $M$, il existe $y \neq 0$ dans $M$ tel que $a \in \mathrm{Ann}(y)$. Pour montrer que la condition est nécessaire, se ramener, en considérant l’anneau $A/\mathrm{Ann}(x)$, à prouver que dans un anneau $A$ tout élément appartenant à un idéal premier $p$ minimal dans l’ensemble des idéaux premiers de $A$, est nécessairement diviseur de 0 (chap. II, § 2, n° 6, prop. 12)).

Pour que $a \in A$ soit tel que $a_M$ soit presque nilpotente, il faut et il suffit que $a$ appartienne à tous les éléments de $\mathrm{Ass}_f(M)$.

c) Si $N$ est un sous-module de $M$, on a

(Noter que si $p$ est un idéal premier, $a \notin p$, $x \in M$ tel que $ax \in N$ et $\mathrm{Ann}(x) \subset p$, on a $\mathrm{Ann}(ax) \subset p$.)

d) Soient $S$ une partie multiplicative de $A$, $\Phi$ l’ensemble des idéaux premiers de $A$ ne rencontrant pas $S$. Montrer que $p \to S^{-1}p$ est une bijection de $\mathrm{Ass}_f(M) \cap \Phi$ sur $\mathrm{Ass}_f(S^{-1}M)$. (Observer que l’image réciproque, par l’application canonique $A \to S^{-1}A$, de l’annulateur d’un élément $x/s$, où $x \in M, s \in S$, est le saturé pour $S$ de $\mathrm{Ann}(x)$).

e) Soit $S$ une partie multiplicative de $A$; montrer que si $N$ est le noyau de l’homomorphisme canonique $M \to S^{-1}M$, $\mathrm{Ass}_f(N)$ est l’ensemble des $p \in \mathrm{Ass}_f(M)$ qui rencontrent $S$, et $\mathrm{Ass}_f(M/N)$ l’ensemble des $p \in \mathrm{Ass}_f(M)$ qui ne rencontrent pas $S$. (Pour prouver le dernier point, considérer un idéal premier $q$, minimal dans l’ensemble de ceux contenant $\mathrm{Ann}(\overline{y})$, où $\overline{y} \in M/N$; remarquer que si $y \in \overline{y}$ et $t \in q$, il existe $c \notin q$ et un entier $n > 0$ tel que $ct^n y \in N$ (chap. II, § 2, n° 6, prop. 12); en déduire d’abord que $q \cap S = \emptyset$. Il existe $s \in S$ tel que $sc t^n y = 0$; en conclure qu’il ne peut y avoir d’idéal premier $q' \neq q$ tel que $\mathrm{Ann}(y) \subset q' \subset q$.)

f) Pour qu’un idéal premier de $A$ appartienne à $\mathrm{Supp}(M)$, il faut et il suffit qu’il contienne un élément de $\mathrm{Ass}_f(M)$.

g) Montrer que si $A$ est noethérien, on a $\mathrm{Ass}_f(M) = \mathrm{Ass}(M)$.

h) Si $A$ est un anneau absolument plat, on a $\mathrm{Ass}_f(A) = \mathrm{Spec}(A)$.

i) Pour tout $A$-module $E$, l’homomorphisme canonique de $E$ dans le produit $\prod_{p \in \mathrm{Ass}_f(E)} E_p$ est injectif ; en d’autres termes, l’intersection des saturés de $\{0\}$ dans $E$ pour les idéaux $p \in \mathrm{Ass}_f(E)$ est réduite à 0. Généraliser de même l’exerc. 12.

j) Soit $M$ un $A$-module de type fini. Montrer que les éléments minimaux de l’ensemble des idéaux premiers contenant $a = \mathrm{Ann}(M)$ appartiennent à $\mathrm{Ass}_f(M)$ (si $(x_i)_{i \leq 1 \leq n}$ est un système de générateurs de $M$, montrer qu’un tel idéal contient un des $\mathrm{Ann}(x_i)$). En déduire que $\mathrm{Ass}_f(A/a)$ est contenu dans $\mathrm{Ass}_f(M)$ (si un idéal premier $p$ contient l’annulateur de la classe mod. $a$ d’un élément $\alpha \in A$, remarquer que $p$ contient l’annulateur du sous-module $\alpha M$ de $M$) ; montrer que $\mathrm{Ass}_f(A/a), \mathrm{Ass}_f(M)$ et l’ensemble des idéaux premiers contenant $a$ ont les mêmes éléments minimaux.