Bài tập 17, § 1

Cho $A$ là một vành và $M$ là một $A$-môđun. Một iđêan nguyên tố $p$ của $A$ được gọi là yếu liên kết với $M$ nếu tồn tại $x \in M$ sao cho $p$ là một phần tử cực tiểu của tập hợp các iđêan nguyên tố chứa $\operatorname{Ann}(x)$; ta ký hiệu $\operatorname{Ass}_f(M)$ là tập hợp các iđêan yếu liên kết với $M$. Khi đó $\operatorname{Ass}(M) \subset \operatorname{Ass}_f(M)$.

(a) Chứng minh rằng quan hệ $M \neq 0$ tương đương với $\operatorname{Ass}_f(M) \neq \varnothing$.

(b) Để $a \in A$ sao cho $a_M$ là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là $a$ không thuộc phần tử nào của $\operatorname{Ass}_f(M)$ (chú ý rằng, nếu $a$ thuộc căn của một iđêan $\operatorname{Ann}(x)$ với $x \neq 0$ trong $M$, thì tồn tại $y \neq 0$ trong $M$ sao cho $a \in \operatorname{Ann}(y)$). Để chứng minh rằng điều kiện là cần, hãy rút gọn nó, bằng cách xét vành $A/\operatorname{Ann}(x)$, về việc chứng minh rằng trong một vành $A$ mọi phần tử thuộc một iđêan nguyên tố $p$ là cực tiểu trong tập hợp các iđêan nguyên tố của $A$ nhất thiết là một ước của 0 (Chương II, § 2, no. 6, Mệnh đề 12).)

Để $a \in A$ sao cho $a_M$ là gần lũy linh, điều kiện cần và đủ là $a$ thuộc tất cả các phần tử của $\operatorname{Ass}_f(M)$.

(c) Nếu $N$ là một môđun con của $M$, thì

(Chú ý rằng, nếu $p$ là một iđêan nguyên tố, $a \notin p$, $x \in M$ sao cho $ax \in N$ và $\operatorname{Ann}(x) \subset p$, thì $\operatorname{Ann}(ax) \subset p$.)

(d) Cho $S$ là một tập con nhân của $A$ và $\Phi$ là tập hợp các iđêan nguyên tố của $A$ không giao với $S$. Chứng minh rằng $p \mapsto S^{-1}p$ là một song ánh của $\operatorname{Ass}_f(M) \cap \Phi$ lên $\operatorname{Ass}_f(S^{-1}M)$. (Chú ý rằng ảnh ngược theo ánh xạ chính tắc $A \to S^{-1}A$ của linh hóa tử của một phần tử $x/s$, trong đó $x \in M, s \in S$, là phần bão hòa theo $S$ của $\operatorname{Ann}(x)$.)

(e) Cho $S$ là một tập con nhân của $A$; hãy chứng minh rằng, nếu $N$ là hạt nhân của đồng cấu chính tắc $M \to S^{-1}M$, thì $\operatorname{Ass}_f(N)$ là tập hợp các $p \in \operatorname{Ass}_f(M)$ giao với $S$ và $\operatorname{Ass}_f(M/N)$ là tập hợp các $p \in \operatorname{Ass}_f(M)$ không giao với $S$. (Để chứng minh điểm sau, xét một iđêan nguyên tố $q$ cực tiểu trong tập hợp các iđêan chứa $\operatorname{Ann}(\overline{y})$, trong đó $\overline{y} \in M/N$; chú ý rằng, nếu $y \in \overline{y}$ và $t \in q$, thì tồn tại $c \notin q$ và một số nguyên $n > 0$ sao cho $ct^n y \in N$ (Chương 11, § 2, no. 6, Mệnh đề 12); suy ra trước hết rằng $q \cap S = \varnothing$. Tồn tại $s \in S$ sao cho $sc t^n y = 0$; kết luận rằng không thể có iđêan nguyên tố $q' \neq q$ sao cho $\operatorname{Ann}(y) \subset q' \subset q$.)

(f) Để một iđêan nguyên tố của $A$ thuộc $\operatorname{Supp}(M)$, điều kiện cần và đủ là nó chứa một phần tử của $\operatorname{Ass}_f(M)$.

(g) Hãy chứng minh rằng, nếu $A$ là Noether, $\operatorname{Ass}_f(M) = \operatorname{Ass}(M)$.

(h) Nếu $A$ là một vành phẳng tuyệt đối, thì $\operatorname{Ass}_f(A) = \operatorname{Spec}(A)$.

(i) Với mọi $A$-môđun $E$, đồng cấu chính tắc từ $E$ đến tích $\prod_{p \in \operatorname{Ass}_f(E)} E_p$ là đơn ánh; nói cách khác, giao của các bão hòa của $\{0\}$ trong $E$ đối với các iđêan $p \in \operatorname{Ass}_f(E)$ được rút gọn về 0. Tổng quát hóa Bài tập 12 tương tự.

(j) Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn. Hãy chứng minh rằng các phần tử cực tiểu của tập hợp các iđêan nguyên tố chứa $a = \operatorname{Ann}(M)$ thuộc $\operatorname{Ass}_f(M)$ (nếu $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một hệ sinh của M, hãy chứng minh rằng một iđêan như vậy chứa một trong các $\operatorname{Ann}(x_i)$). Suy ra rằng $\operatorname{Ass}_f(A/a)$ được chứa trong $\operatorname{Ass}_f(M)$ (nếu một iđêan nguyên tố $p$ chứa linh hóa tử của lớp mod. $a$ của một phần tử $a \in A$, chú ý rằng $p$ chứa linh hóa tử của môđun con $\alpha M$ của M); hãy chứng minh rằng $\operatorname{Ass}_f(A/a)$, $\operatorname{Ass}(M)$ và tập hợp các iđêan nguyên tố chứa $a$ có cùng các phần tử cực tiểu.