Supposons en effet que $p$ ne contienne aucun des $a_i$. Pour $1 \leq i \leq n$, il existe donc un élément $s_i \in a_i \cap \mathbf{C}p$; alors $s = s_1 s_2 ... s_n$ est contenu dans $a_1 a_2 ... a_n$ et n’est pas contenu dans $p$, ce qui est absurde.

En effet, un tel idéal $p$ doit contenir $m$ en vertu de la prop. 1 appliquée à $a_i = m$ pour $1 \leq i \leq n$; comme $m$ est maximal, on a $p = m$.

Raisonnons par récurrence sur $n = \mathrm{Card} (I)$; la proposition est triviale si $n = 1$. Supposons $n \geqslant 2$; s’il existe un indice $j$ tel que $a \cap p_j \subset \bigcup_{i \neq j} p_i$, l’ensemble $a$, qui est la réunion des $a \cap p_i$ pour $i \in I$, est contenu dans $\bigcup_{i \neq j} p_i$, donc dans l’un des $p_i$ en vertu de l’hypothèse de récurrence. Supposons donc qu’il n’en soit pas ainsi ; pour tout $j \in I$, soit $y_j$ un élément de $a \cap p_j$ n’appartenant à aucun des $p_i$ tels que $i \neq j$. Soit $k$ un élément de $I$ choisi de telle manière que $p_k$ soit premier si $n > 2$, et choisi arbitrairement si $n = 2$; soit $z = y_k + \prod_{i \neq k} y_i$. On a $z \in a$, puisque $a$ est stable pour l’addition et la multiplication ; si $j \neq k$, $\prod_{i \neq k} y_i$ appartient à $p_j$, mais $y_k \notin p_j$, d’où $z \notin p_j$. D’autre part, $\prod_{i \neq k} y_i$ n’appartient pas à $p_k$, car aucun des facteurs $y_i$ ($i \neq k$) ne lui appartient, et $p_k$ est premier si $n - 1 > 1$; comme $y_k \in p_k$, $z$ n’appartient pas à $p_k$, et la proposition est établie.

Vu l’hypothèse faite, tout idéal premier qui contient $a'$ contient $a$ et tout idéal premier qui contient $b'$ contient $b$. Si un idéal premier contient $a'$ et $b'$, il contient donc $a$ et $b$, ce qui est absurde puisque $a$ et $b$ sont étrangers ; donc $a'$ et $b'$ sont étrangers.

Raisonnons par récurrence sur le nombre $n$ d’éléments de $I$, le cas $n = 1$ étant trivial. Considérons d’abord le cas $n = 2$. L’équivalence de a) et b) résulte alors de l’exactitude de la suite

*(Alg., chap. II, 3e éd., § 1, no 7, formule (30)). En outre, il existe $e_1 \in a_1$ et $e_2 \in a_2$ tels que $1 = e_1 + e_2$; pour tout $x \in a = a_1 \cap a_2$, on a donc $x = x e_1 + x e_2$; mais par définition on a $x e_1 \in a_1 a_2$ et $x e_2 \in a_1 a_2$, donc $x \in a_1 a_2$; d’où $a \subset a_1 a_2$, et l’inclusion opposée est évidente.

Passons au cas général. Supposons la condition a) satisfaite et soient $k$ un élément de $I$, $b_k = \bigcap_{i \neq k} a_i$; l’hypothèse de récurrence entraîne que $b_k = \prod_{i \neq k} a_i$, et il résulte de la prop. 4 que $a_k$ et $b_k$ sont étrangers; donc $a = \bigcap_{i \in I} a_i = a_k \cap b_k = a_k b_k = \prod_{i \in I} a_i$ par la première partie du raisonnement, et pour la même raison l’homomorphisme canonique $A/a \to (A/a_k) \times (A/b_k)$ est bijectif ; par l’hypothèse de récurrence l’homomorphisme canonique $A/b_k \to \prod_{i \neq k} (A/a_i)$ est bijectif, et il en est donc de même de l’homomorphisme composé

qui n’est autre que $\psi$, ce qui démontre $b$). Inversement, supposons $b$) vérifiée et montrons que les $a_i$ sont nécessairement étrangers deux à deux. Dans le cas contraire, il existerait un idéal $c \neq A$ contenant $a_i$ et $a_j$ pour $i \neq j$. Posons $a'_h = a_h$ pour $h$ distinct de $i$ et de $j$, et $a'_i = a'_j = c$; l’homomorphisme canonique $\varphi' : A \to \prod_{i \in I} (A/a'_i)$ peut s’écrire comme le composé

$f$ étant le produit des homomorphismes canoniques $A/a_i \to A/a'_i$; il est clair que $\varphi'$ n’est pas surjectif, la projection de $\varphi'(A)$ sur $(A/a'_i) \times (A/a'_i)$ étant la diagonale du produit $(A/c) \times (A/c)$, qui est distincte de ce produit puisque $c \neq A$. Comme $f$ est surjectif, cela montre que $\varphi$ n’est pas surjectif.

C. Q. F. D.

Il est clair que l’application canonique de $M$ dans $\prod_{i \in I} (M/a_iM)$ s’annule dans $aM$; elle définit donc par passage au quotient un homomorphisme $\lambda : M/aM \to \prod_{i \in I} (M/a_iM)$. D’autre part, d’après la prop. 5, l’homomorphisme canonique $\psi : A/a \to \prod_{i \in I} (A/a_i)$ est bijectif. Il en est donc de même de $1_M \otimes \psi : M \otimes (A/a) \to M \otimes \prod_{i \in I} (A/a_i)$. Or $M \otimes (A/a)$ s’identifie à $M/aM$, et $M \otimes \prod_{i \in I} (A/a_i)$ s’identifie à $\prod_{i \in I} M \otimes (A/a_i)$, qui s’identifie lui-même à $\prod_{i \in I} (M/a_iM)$. On vérifie immédiatement que les identifications précédentes transforment $1_M \otimes \psi$ en $\lambda$, d’où la proposition.