Exercice 5, § 5

Soient $A$ un anneau réduit, $M$ un $A$-module de type fini. Supposons qu’il existe un entier $n > 0$ tel que, pour tout homomorphisme $\varphi$ de $A$ dans un corps $K_\varphi$, on ait $[M \otimes_A K_\varphi : K_\varphi] = n$. Montrer que $M$ est un module projectif de rang $n$. (Se ramener au cas où $A$ est un anneau local et utiliser le § 3, n° 2, prop. 7.)