Exercice 27, § 2

a) Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$-module fidèle de type fini. Montrer que si $a, b$ sont deux idéaux de $A$ tels que $aM = bM$, les racines de $a$ et de $b$ sont égales (utiliser le no 2, cor. 2 de la prop. 4).

b) Déduire de a) que si, dans un anneau intègre $A$, $p$ est un idéal premier de type fini, on a $p^m \neq p^n$ pour $m \neq n$.

c) Soient $K$ un corps, $A$ l’anneau de polynômes $K[X, Y]$ à deux indéterminées. Dans $A$, soient $a$ l’idéal $AX^4 + AX^3Y + AXY^3 + AY^4$, $b$ l’idéal $a + AX^2Y^2$; montrer que l’on a $b \neq a$ et $b^2 = a^2$.