Bài tập 27, § 2

(a) Cho $A$ là một vành và $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn trung thành. Chứng minh rằng, nếu $a, b$ là hai iđêan của $A$ sao cho $aM = bM$, thì các căn của $a$ và $b$ bằng nhau (dùng no. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4).

(b) Suy ra từ (a) rằng, nếu trong một miền nguyên $A$ $p$ là một iđêan nguyên tố sinh hữu hạn, thì $p^m \neq p^n$ với $m \neq n$.

(c) Cho $K$ là một trường và $A$ là vành đa thức $K[X, Y]$ với hai bất định. Cho $a$ là iđêan $AX^4 + AX^3Y + AXY^3 + AY^4$, $b$ là iđêan $a + AX^2Y^2$ của $A$; chứng minh rằng $b \neq a$ và $b^2 = a^2$.