Exercice 1, § 2

On dit qu’une partie multiplicative $S$ d’un anneau $A$ est saturée si la relation $xy \in S$ entraîne $x \in S$ et $y \in S$.

a) Pour qu’une partie $S$ de $A$ soit multiplicative et saturée, il faut et il suffit que $A - S$ soit réunion d’idéaux premiers de $A$.

b) Soit $S$ une partie multiplicative de $A$, et soit $\tilde{S}$ l’ensemble des $x \in A$ pour lesquels il existe $y \in A$ tels que $xy \in S$. Montrer que $\tilde{S}$ est la plus petite partie multiplicative saturée contenant $S$, $A - \tilde{S}$ est la réunion des idéaux premiers de $A$ ne rencontrant pas $S$, et pour tout $A$-module $M$, l’homomorphisme canonique de $S^{-1}M$ dans $\tilde{S}^{-1}M$ est bijectif.

c) Soient $S$ et $T$ deux parties multiplicatives de $A$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : $\alpha) \ S \subset \tilde{T} \ ; \beta)$ pour tout $A$-module $M$ tel que $S^{-1}M = 0$, on a $T^{-1}M = 0$. (Pour voir que $\beta$) entraîne $\alpha)$, considérer un $A$-module quotient $A/As$, où $s \in S$.)