Bài tập 1, § 2

Một tập con nhân $S$ của một vành $A$ được gọi là bão hòa nếu quan hệ $xy \in S$ kéo theo $x \in S$ và $y \in S$.

(a) Để một tập con $S$ của $A$ là nhân và bão hòa, điều kiện cần và đủ là $A - S$ là hợp của các iđêan nguyên tố của $A$.

(b) Cho $S$ là một tập con nhân của $A$ và $\tilde{S}$ là tập hợp các $x \in A$ sao cho tồn tại $y \in A$ thỏa mãn $xy \in S$. Hãy chứng minh rằng $\tilde{S}$ là tập con nhân bão hòa nhỏ nhất chứa $S$, $A - \tilde{S}$ là hợp của các iđêan nguyên tố của $A$ không gặp $S$ và, với mọi $A$-môđun $M$, ánh xạ chính tắc từ $S^{-1}M$ đến $\tilde{S}^{-1}M$ là song ánh.

(c) Cho $S$ và $T$ là hai tập con nhân của $A$. Hãy chứng minh rằng hai tính chất sau là tương đương: $(\alpha) \ S \subset \tilde{T}$; $(\beta)$ với mọi $A$-môđun $M$ sao cho $S^{-1}M = 0, \ T^{-1}M = 0$. (Để thấy rằng $(\beta)$ kéo theo $(\alpha)$, xét một môđun thương $A/A_S$, trong đó $s \in S$.)