Exercice 21, § 5

Soient A un anneau, n un entier $\geqslant 0$.

a) Montrer que les A-modules F tels que $F^n$ soit isomorphe à $A^n$ sont projectifs de rang 1, et que leurs classes dans $P(A)$ forment un sous-groupe $P_n(A)$ dont tout élément est annulé par n. (Pour démontrer la première assertion, utiliser la prop. 5 du § 2, no 2; pour la seconde, observer que $\bigwedge^n F^n$ et $\bigotimes^n F$ sont canoniquement isomorphes.)

b) Soit $\mathrm{Aut}_n(A)$ le groupe des automorphismes de la A-algèbre de matrices $\mathbf{M}_n(A)$ et soit $\mathrm{Int}_n(A)$ le sous-groupe des automorphismes intérieurs de $\mathbf{M}_n(A)$. Montrer que le groupe quotient $\mathrm{Aut}_n(A)/\mathrm{Int}_n(A)$ est isomorphe à $P_n(A)$ (utiliser l’exerc. 20 avec $P = P' = A^n$, ou l’exerc. 9 de Alg., chap. VIII, § 1). En déduire que, si A est un anneau semi-local ou un anneau principal, on a Aut_n(A) = Int_n(A).

c) Lorsque A est un anneau de Dedekind, montrer que $P_n(A)$ est identique au sous-groupe de $P(A)$ formé des éléments annulés par n.