Bài tập 21, § 5

Cho A là một vành, n là một số nguyên $\geqslant 0$.

a) Bây giờ chứng minh rằng các A-môđun F sao cho $F^n$ đẳng cấu với $A^n$ là xạ ảnh có hạng 1, và các lớp của chúng trong $P(A)$ tạo thành một nhóm con $P_n(A)$ mà mọi phần tử của nó đều bị triệt tiêu bởi n. (Để chứng minh mệnh đề thứ nhất, sử dụng Mệnh đề 5 của § 2, No. 2; đối với mệnh đề thứ hai, nhận xét rằng $\bigwedge^n F^n$ và $\bigotimes^n F$ đẳng cấu chính tắc.)

b) Cho $\mathrm{Aut}_n(A)$ là nhóm tự đẳng cấu của đại số trên A của các ma trận $\mathbf{M}_n(A)$ và cho $\mathrm{Int}_n(A)$ là nhóm con của các tự đẳng cấu nội của $\mathbf{M}_n(A)$. Bây giờ chứng minh rằng nhóm thương $\mathrm{Aut}_n(A)/\mathrm{Int}_n(A)$ đẳng cấu với $P_n(A)$ (sử dụng Bài tập 20 với $P = P' = A^n$, hoặc Bài tập 9 của Alg., Chương VIII, § 1). Suy ra rằng, nếu A là một vành nửa địa phương hoặc một miền iđêan chính, ta có Aut_n(A) = Int_n(A).

*c) Khi A là một vành Dedekind, bây giờ chứng minh rằng $P_n(A)$ trùng với nhóm con của $P(A)$ tạo bởi các phần tử bị triệt tiêu bởi n.