Exercice 12, § 2

a) Soit A un anneau. Montrer que les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :

α) Le A-module à droite $A_a$ est cohérent (exerc. 11). β) Tout A-module à droite de présentation finie est cohérent. γ) Pour tout ensemble I, le A-module à gauche $A_1^I$ est plat. δ) Tout produit de A-modules à gauche plats est plat. (Pour prouver que α) entraîne β), utiliser l’exerc. 11 b). Pour voir que γ) entraîne α), raisonner par l’absurde en utilisant la prop. 13 du n° 11. Pour montrer que α) entraîne δ), utiliser l’exerc. 9.)

On dit qu’un tel anneau A est cohérent à droite, et on définit de même la notion d’anneau cohérent à gauche.

b) Montrer que tout anneau noethérien à droite est cohérent à droite. Donner un exemple d’anneau artinien à droite qui n’est pas cohérent à gauche (cf. Alg., chap. VIII, § 2, exerc. 4).

c) Un anneau de valuation non discrète de rang 1 (chap. VI) est cohérent mais contient des idéaux non cohérents et admet des modules quotients (monogènes) non pseudo-cohérents.

d) Montrer que, si A est un anneau cohérent à droite, on a, pour tout A-module à droite E, $\lambda(E) = -1$ ou $\lambda(E) = 0$ ou $\lambda(E) = +\infty$ (exerc. 6).

e) Soit $(A_\alpha, \varphi_{\alpha\beta})$ un système inductif d’anneaux dont l’ensemble d’indices est filtrant, et soit $A = \lim A_\alpha$. On suppose que, pour $\alpha \leq \beta$, $\Lambda_\beta$ est un $A_\alpha$-module à gauche plat. Montrer que, si les $A_\alpha$ sont cohérents à droite, il en est de même de A. (Observer que A est un $A_\alpha$-module plat pour tout $\alpha$, et que, si E est un sous-module de $A_\alpha$, de type fini, il existe un indice $\alpha$ et un sous-module de type fini $E_\alpha$ de $(A_\alpha)_d$ tels que $E_\alpha \otimes_{A_\alpha} A$ soit isomorphe à E.)

f) Déduire de e) que tout anneau de polynômes (pour un ensemble fini ou infini quelconque d’indéterminées) sur un anneau commutatif noethérien est cohérent. En déduire qu’un anneau quotient d’un anneau cohérent n’est pas nécessairement cohérent.

g) Pour que A soit cohérent à gauche, il faut et il suffit que l’annulateur à gauche de tout élément de A soit de type fini, et que l’intersection de deux idéaux à gauche de type fini dans A soit de type fini (utiliser l’exerc. 6 f)).