Bài tập 12, § 2

(a) Cho $A$ là một vành. Chứng minh rằng bốn tính chất sau là tương đương:

$(a)$ Môđun phải $A$- $A,$ là liên kết (Bài tập 11). $(\beta)$ Mọi môđun phải sinh hữu hạn trình bày được đều liên kết. $(y)$ Mọi $A$-môđun $A^I_s$ (I là một tập hợp tùy ý) đều phẳng. $(\delta)$ Mọi tích của các môđun trái $A$ phẳng đều phẳng.

(Để chứng minh $(a)$ kéo theo $(\beta)$, sử dụng Bài tập 11(b). Để thấy rằng $(y)$ kéo theo $(a)$, sử dụng Mệnh đề 13 của no. 11 và lập luận bằng phản chứng. Để chứng minh rằng $(a)$ kéo theo $(\delta)$, sử dụng các Bài tập 9.)

Một vành như vậy được gọi là vành liên kết phải và khái niệm vành liên kết trái được định nghĩa tương tự.

(b) Chứng minh rằng mọi vành Noether phải là liên kết phải. Cho một ví dụ về một vành Artin phải không liên kết trái (xem Đại số, Chương VIII, § 2, Bài tập 4).

(c) Vành của một định giá không rời rạc chiều cao 1 (Chương VI) là liên kết nhưng chứa các iđêan không liên kết và nhận các môđun thương (đơn sinh) không giả liên kết.

(d) Chứng minh rằng, nếu $A$ là một vành liên kết phải, thì, với mọi môđun phải $A$- $E$, $\lambda(E) = -1$ hoặc $\lambda(E) = 0$ hoặc $\lambda(E) = +\infty$ (Bài tập 6).

(e) Cho $(A_\alpha, \phi_{\beta\alpha})$ là một hệ trực tiếp của các vành có tập chỉ số là có hướng và cho $A = \varprojlim A_\alpha$. Giả sử rằng, với $a \leq \beta$, $A_a$ là một môđun phải $A_\alpha$ phẳng. Chứng minh rằng, nếu các $A_a$ là liên kết phải, thì $A$ cũng vậy. (Chú ý rằng $A$ là một môđun $A_\alpha$ phẳng với mọi $\alpha$ và rằng, nếu $E$ là một môđun con sinh hữu hạn của $A_\alpha$, thì tồn tại một chỉ số $a$ và một môđun con sinh hữu hạn $E_\alpha$ của $(A_\alpha)_a$ sao cho $E_\alpha \otimes_{A_\alpha} A$ là đẳng cấu với $E$.)

\* (f) Suy ra từ (e) rằng mọi vành đa thức (trên một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn tùy ý các bất định) trên một vành giao hoán Noether là liên kết. Suy ra từ điều này rằng một vành thương của một vành liên kết không nhất thiết là liên kết.*

(g) Để A là liên kết trái, điều kiện cần và đủ là linh hóa tử trái của mọi phần tử của A là sinh hữu hạn và giao của hai iđêan trái sinh hữu hạn của A là sinh hữu hạn (sử dụng Bài tập 6(f)).