Exercice 16, § 2

Soient $A$ un anneau, $a$ un élément de $A$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

$\alpha) \ a \in aAa.$ $\beta) \ aA$ est facteur direct dans le module $A_a.$ $\gamma) \ A_a/aA$ est un $A$-module à droite plat. $\delta)$ Pour tout idéal à gauche $b$ de $A$, on a $aA \cap b = ab.$ (Utiliser le cor. de la prop. 7 du n° 6 pour prouver l’équivalence de $\gamma$ et $\delta$), et montrer directement que $\delta)$ entraîne $\alpha)$ et que $\alpha)$ entraîne $\beta)$, en prouvant l’existence d’un idempotent $e \in aA$ tel que $eA = aA.$