Exercice 6, § 2

Soient A un anneau commutatif, E et F deux A-modules, $(E_n)$ (resp. $(F_n)$) une filtration exhaustive sur E (resp. F) formée de sous-A-modules. Sur le produit tensoriel $G = E \otimes_A F$, on considère la filtration exhaustive formée des $G_n = \sum_{i+j=n} \operatorname{Im}(E_i \otimes_A F_j)$.

a) Montrer que les homomorphismes canoniques composés $(E_i/E_{i+1}) \otimes_A (F_j/F_{j+1}) \to (E_i \otimes_A F_j)/(\operatorname{Im}(E_i \otimes_A F_{j+1}) + \operatorname{Im}(E_{i+1} \otimes_A F_j)) \to G_{i+j}/G_{i+j+1}$ sont les restrictions d'un homomorphisme gradué de degré 0 (dit canonique) $\operatorname{gr}(E) \otimes_A \operatorname{gr}(F) \to \operatorname{gr}(E \otimes_A F)$, qui est surjectif.

b) Montrer que si $\operatorname{gr}(E)$ est un A-module plat, les A-modules $E_m/E_n$ pour $m \leq n$, et $E/E_n$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$, sont plats.

c) On suppose dans ce qui suit que $\operatorname{gr}(E)$ est un A-module plat et que E est un A-module plat (la seconde hypothèse étant conséquence de la première lorsque $(E_n)$ est une filtration discrète). Alors les $H_{ij} = E_i \otimes_A F_j$ s'identifient canoniquement à des sous-modules de $G = E \otimes_A F$ (chap. I, § 2, n° 5, prop. 4). Montrer que pour deux parties finies quelconques R, S de $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$, on a

(*)

où dans la seconde somme, $(i, j, h, k)$ parcourt $R \times S$. (Lorsque R et S sont chacun réduits à un élément, utiliser le chap. I, § 2, n° 6, prop. 7. Si $p$ est le plus grand des indices $i$ et $h$ figurant dans les éléments de R ou S, $q$ le plus petit des indices $j$ et $k$ figurant dans les éléments de R ou S, considérer les images des deux membres de (*) par l'homomorphisme canonique $E \otimes_A F_q \to (E/E_p) \otimes_A F_q$, et raisonner par récurrence sur Card(R) + Card(S)).

d) Déduire de c) que l'homomorphisme canonique défini dans a) est alors bijectif.

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