Bài tập 6, § 2

Cho $A$ là một vành giao hoán, $E$ và $F$ là hai $A$-môđun và $(E_n)$ (resp. $(F_j)$) là một lọc toàn phần trên $E$ (resp. $F$) gồm các môđun con của $A$. Trên tích tenxơ $G = E \otimes_A F$, xét lọc toàn phần gồm các $G_n = \sum_{i+j=n} \mathrm{Im}(E_i \otimes_A F_j)$.

(a) Chứng minh rằng các đồng cấu chính tắc hợp thành

là các hạn chế của một đồng cấu phân bậc có bậc 0 (gọi là chính tắc) $\mathrm{gr}(E) \otimes_A \mathrm{gr}(F) \to \mathrm{gr}(E \otimes_A F)$, đồng cấu này là toàn ánh.

(b) Chứng minh rằng, nếu $\mathrm{gr}(E)$ là một $A$-môđun phẳng, thì các $A$-môđun $E_m/E_n$ với $m \leq n$ và $E/E_n$ với $n \in \mathbf{Z}$ là phẳng.

(c) Giả sử trong phần sau rằng $\mathrm{gr}(E)$ là một $A$-môđun phẳng và $E$ là một $A$-môđun phẳng (giả thiết thứ hai là hệ quả của giả thiết thứ nhất nếu $(E_n)$ là một lọc rời rạc). Khi đó các $H_{ij} = E_i \otimes_A F_j$ được đồng nhất một cách chính tắc với các môđun con của $G = E \otimes_A F$ (Chương I, § 2, no. 5, Mệnh đề 4). Chứng minh rằng, với mọi hai tập con hữu hạn $R, S$ của $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$,

trong đó trong tổng thứ hai $(i,j, h, k)$ chạy qua $R \times S$. (Nếu $R$ và $S$ mỗi tập chỉ gồm một phần tử, sử dụng Chương I, § 2, no. 6, Mệnh đề 7. Nếu $p$ là lớn nhất của các chỉ số $i$ và $h$ xuất hiện trong các phần tử của $R$ hoặc $S$, $q$ là nhỏ nhất của các chỉ số $j$ và $k$ xuất hiện trong các phần tử của $R$ hoặc $S$, xét ảnh của hai vế của (*) qua đồng cấu chính tắc

và lập luận bằng quy nạp theo Card(R) + Card(S).)

(d) Suy ra từ (c) rằng đồng cấu chính tắc được xác định trong (a) khi đó là song ánh.